深入研究與二次函數有關的幾個典型問題

【摘要】本文利用二次函數的圖像和性質，并借助動態分析的思想，給出了與二次函數有關的單調性、值域、最值問題的研究方法及一般常用結論.

【關鍵詞】研究；二次函數；圖像；運動變化

作為對教材內容的補充，本文擬通過對如下幾個典型問題的深入研究，以幫助讀者更加深刻地理解、掌握有關二次函數問題的一些內在的規律、特點.

一、關于含參二次函數在給定區間上的單調性問題

由于含參二次函數圖像的對稱軸方程一般是用含有參數的字母加以表示，所以對稱軸位置是相對確定的，可將其看作是運動變化的.而所給區間位置是確定的，可將其看作是靜止不變的.于是，利用動、靜有機結合的觀點，讓對稱軸由左向右運動變化加以詳細考察，即得如下常用結論.

1.設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)，若f(x)在左區間上單調遞減，則-b2a≥m；若f(x)在右區間上單調遞增，則-b2a≤m.

2.設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a<0)，若f(x)在左區間上單調遞增，則-b2a≥m；若f(x)在右區間上單調遞減，則-b2a≤m.

注 ①其中左區間指：(-∞，m)或(-∞，m］；右區間指：(m，+∞)或［m，+∞).②上述各結論對應的逆命題也是成立的.

二、關于值域給定，且值域中包含二次函數的最值問題

設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)在變區間［m，n］上的值域4ac-b24a，k是確定的.為了便于結合f(x)圖像研究變區間［m，n］的具體情形，我們首先要確定方程f(x)=k的兩個實數根（記作x1，x2，其中x1

類似分析可知：設方程f(x)=k的兩個實數根為x1，x2，且x1

三、關于含參二次函數在給定區間上的最值問題

方法 結合所給區間位置及函數圖像，讓對稱軸由左向右運動變化加以分析.

設含參二次函數為f(x)，對稱軸為x=x0，且圖像開口向上，給定區間為［m，n］.

先求最小值：當x0≤m時，由f(x)在［m，n］上遞增得f(x)min=f(m)；當m

再求最大值：當x0≤m+n2時，結合函數在給定區間上的單調性或對稱性得f(x)max=f(n)；當x0>m+n2時，結合函數在給定區間上的對稱性或單調性得f(x)max=f(m).

注 若含參二次函數圖像開口向下，則可類似分析.（請讀者自行探索）

四、關于變區間上給定二次函數的最值問題

方法 先作所給二次函數的圖像，然后讓變區間在x軸上由左向右運動變化加以分析.

設給定二次函數為f(x)，對稱軸為x=x0，且圖像開口向上，并設變區間為［m，n］.

先求最小值：當n≤x0時，由f(x)在［m，n］上遞減得f(x)min=f(n)；當m

再求最大值：當m+n2≤x0時，結合函數在變區間上的單調性或對稱性得f(x)max=f(m)；當m+n2>x0時，結合函數在給定區間上的對稱性或單調性得f(x)max=f(n).

注 若給定二次函數圖像開口向下，則可類似分析.（請讀者自行探索）

通過上述的研究，我們應該對二次函數的圖像與性質的理解、認識更加深刻、更加到位.此外，我們還要注意具體研究的主要方法：以二次函數圖像本身的對稱性及單調性為基礎，靈活運用運動與靜止相結合的觀點進行分析.