在變式教學中培養學生的思維能力

在日常教學中，我們常發現這樣的問題：課堂上教師講了一道例題，讓學生來做稍有“變臉”的題目，很多學生還是無從下手.這說明學生可能處于“思維定式”，只是單純地依賴模仿與記憶，不會變通.要改變這一狀況，必須培養學生的數學思維能力.

在數學教學中，通常是教師按照教材固有的知識結構，按照單向思維方式從題目的條件和結論出發聯想到已知的公理、定理、公式和性質，只從某一方向思考問題，采用某一方法解決問題，應該說這種方式是解決問題的基本方法，但是長期按照這種方式去思考問題就會形成“思維定式”，嚴重制約了同學們的創造性思維.因此同學們在數學學習中要逐步養成用發散性思維去思考問題，經常運用一題多解、一題多變、多題一解等變式思維方法顯得十分重要.以下我著重從三個方面來闡述.

1.在一題多解中培養學生思維的多向性與廣闊性

一題多解教學是拓寬學生思維，培養學生從不同的角度思考問題的重要途徑，是開發智力、培養能力的一種行之有效的方法.通過多種解法的探討，可以促使學生展開思維，廣泛聯想，同時也有利于學生對基礎知識、基本方法的融會貫通，而且還可以通過對各種解法的比較，增強學生的求簡意識，優化思維品質，對培養學生思維的發散性、廣闊性和靈活性，激發學生學習興趣都是十分有益的.

例如，證明多邊形內角和定理.

證法一 在n邊形內任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形.因為這n個三角形的內角的和等于n#8226;180°，以O為公共頂點的n個角的和是360°，所以n邊形的內角和是n#8226;180°-2×180°=（n-2）#8226;180°，即n邊形的內角和等于（n-2）×180°.

證法二 連接多邊形的任一頂點A1與其他各個頂點的線段，把n邊形分成（n-2）個三角形.因為這（n-2）個三角形的內角和都等于（n-2）#8226;180°，所以n邊形的內角和是（n-2）#8226;180°.

證法三 在n邊形的任意一邊上任取一點P，連接P點與其他各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，這（n-1）個三角形的內角和等于（n-1）#8226;180°，以P為公共頂點的（n-1）個角的和是180°，所以n邊形的內角和是（n-1）#8226;180°-180°=（n-2）#8226;180°.

證法四 在多邊形外任取一點P，則n邊形可分割成（n-1）個三角形，從而得n邊形的內角和為（n-1）#8226;180°-180°=（n-2）#8226;180°.

證明多邊形內角和定理的方法有多種，證明的關鍵是把多邊形問題轉化為三角形問題.在教學中，可引導學生類比四邊形內角和定理的證明，考慮如何把多邊形的角轉化為三角形的角，鼓勵學生打開思路，積極思維，勇于探究，嘗試用不同的方法來證明此定理.

2.在一題多變中培養學生思維的靈活性與發展性

一題多變也就是從一道例題或習題出發通過改變條件、改變結論、變化情景、變化題型、變化難度等手段使原來的一道題變成一類題、由一類題變成多類題，并通過對變式題的研究、解決，促使學生積極思維，有利于防止就題論題、呆板僵化的思維方式.培養學生思維的靈活性，達到舉一反三、觸類旁通，熟一片、通一類的目的.

例如，已知等腰三角形的腰長為3，底長為4，求這個三角形的周長.

將此例題進行一題多變如下：

變式1 已知等腰三角形的腰長為3，周長為10，求這個三角形的底邊長.(考查逆向思維能力)

變式2 已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為4，求這個三角形的周長.（考查分類討論思想的運用)

變式3 已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長.（這里“3只能為底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，培養學生思維的嚴密性)

變式4 已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，求y的取值范圍.

變式5 已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14.

（1）寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.

（2）在平面直角坐標系內畫出函數圖像.(與前面相比，主要是對條件0﹤y﹤2x的理解運用)

通過例題的層層變式，學生對三角形三邊關系有了更深的認識，培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題的能力，有利于培養學生思維的變通性和靈活性.

3.在多題一解中揭示思維的深刻性

多題一解就是將解決某一問題的方法加以歸納、總結，形成技巧，并用以解決某一類相關問題，培養學生的總結概括能力、知識與方法的遷移能力，能激勵學生透過現象看本質，揭示事物本質的思維活動，以“不變”應“萬變”，從“萬變”中探索“不變”.

例如，在九年級復習一元二次方程根的判別式時，可以出示這樣一組問題：

（1）已知一元二次方程kx2+2x-1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.

（2）已知拋物線y=kx2+2x-1與x軸有兩個不相同的交點，求k的取值范圍.

（3）已知二次三項式kx2+2x-1在實數范圍內能分解成兩個不同的因式相乘，求k的取值范圍.

（4）已知關于x，y的方程組y=kx2-1，y=-2x有兩組不相同的實數解，求k的取值范圍.

這組題看似不同，但都是由（1）變式而得到的，都可以利用判別式Δ=b2-4ac來解決.通過多題一解的變式教學，培養學生透表求里，抓住問題的本質特征，深刻揭示問題的實質，拓展了學生的思維.

總之，數學教學的根本任務不僅是向學生傳授知識，更重要的是培養學生思維能力.變式教學不僅是組織教學、設計教法的可靠手段，也是啟迪學生思維、拓展學生思維的重要方法.當然，在教學中培養學生思維能力的方法很多，需要我們教師在教學過程中認真鉆研教材，吃透教材，探究教材中每一個例題、習題的潛在功能，真正弄懂、弄通教材的編排意圖，注重教材中各類知識的聯系，適當收集教材外的典型習題，引導學生更好地掌握知識，啟發、培養、拓展學生的思維.