“活用”圓的幾何性質(zhì),“巧解”解析幾何中圓的問題

【摘要】作為代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物——解析幾何，其核心思想是通過坐標(biāo)把幾何問題代數(shù)化，然后通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.但是在解決解析幾何問題的時候，如果一味強(qiáng)調(diào)解析幾何中的代數(shù)運(yùn)算，會導(dǎo)致復(fù)雜而冗長的運(yùn)算的過程，而如果在進(jìn)行運(yùn)算的同時能綜合考慮幾何因素，則往往能夠簡化運(yùn)算.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)運(yùn)算；簡化；問題

以“圓”為例，圓是平面幾何和解析幾何中最重要的內(nèi)容之一，它有許多重要幾何性質(zhì)，對于解析幾何中有關(guān)圓的問題，若能充分利用圓的幾何性質(zhì)，將會使解題思路簡明，解法簡捷，不僅免去解析幾何繁瑣的運(yùn)算，還能充分地感受到平面幾何的魅力.正基于這種認(rèn)識，筆者在教學(xué)過程中進(jìn)行了一些研討，深感此法的絕妙，能夠很好地激發(fā)學(xué)生的思維，并能夠提高思維的深刻性和創(chuàng)造性.下面舉幾例供大家鑒析.

一、活用垂徑定理及推論

例1 已知⊙C過點(diǎn)P（1，1），且與⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對稱.問：過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行，請說明理由.

解 解法一：圓C的方程為x2+y2=2.

由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA:y-1=k(x-1)，PB:y-1=-k(x-1).

由y-1=k(x-1)，x2+y2=2，得

(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.

因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得

xA=k2-2k-11+k2，xB=k2+2k-11+k2，

kAB=yB-yAxB-xA=-k(xB-1)-k(xA-1)xB-xA

=2k-k(xB+xA)xB-xA=1=kOP.

所以直線AB和OP一定平行.

解法二：如圖1，過P作直線垂直于x軸交圓O于點(diǎn)P1，則P1（1，-1）.因?yàn)橹本€PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，所以PA，PB關(guān)于直線PP1對稱，所以∠APP1=∠BPP1，所以AP1=BP1.由垂徑定理推論知OP1⊥AB，顯然OP⊥OP1，所以AB∥OP.

評析 解法一運(yùn)用的是代數(shù)方法，其思路是根據(jù)兩直線的傾斜角的關(guān)系設(shè)出直線方程，通過解方程組求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式求AB的斜率.整個解題過程運(yùn)算量較大，環(huán)環(huán)相扣，對學(xué)生計(jì)算能力要求甚高，稍有不慎一步出錯將影響最后的結(jié)果.而解法二充分利用了圖形特征，利用了“同圓中相等的圓周角所對的弧相等”的性質(zhì)得出AP1=BP1，再根據(jù)垂徑定理推論“平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦”得OP1⊥AB，根據(jù)平面幾何性質(zhì)“垂直于同一直線的兩直線平行”即得證.兩種解法比較，解法二的絕妙之處讓人驚嘆.

二、活用切線長定理

例2 （2011年南京市高三學(xué)情調(diào)研卷第19題）已知圓M的圓心M在y軸上，半徑為1.直線l：y=2x+2被圓M所截得的弦長為455且圓心M在直線l的下方.設(shè)A(t，0)，B(t+5，0)(-4≤t≤-1).若AC，BC是圓M的切線，求△ABC面積的最小值.

解 解法一：①當(dāng)直線AC，BC的斜率都存在，即-4

∴直線AC的方程為y=-2tt2-1(x-t)，直線BC的方程為y=-2(t+5)(t+5)2-1(x-t-5).

解方程組y=-2tt2-1(x-t)，y=-2(t+5)(t+5)2-1(x-t-5)，

得x=2t+5t2+5t+1，y=2t2+10tt2+5t+1.

∴y=2t2+10tt2+5t+1=2-2t2+5t+1.

∵-4

故當(dāng)t=-52時，△ABC的面積取最小值12×5×5021=12521.

②當(dāng)直線AC，BC的斜率有一個不存在時，即t=-4或t=-1時，易求得△ABC的面積為203.

綜上，當(dāng)t=-52時，△ABC面積的最小值為12521.

解法二：如圖2，因?yàn)锳(t，0)，B(t+5，0)(-4≤t≤-1)，所以AB=5.

不妨設(shè)AO=a，BO=b，則a+b=5，設(shè)△ABC的面積為S，由題意圓M為△ABC的內(nèi)切圓，

∴S=12(AB+BC+AC)#8226;r

=12(2a+2b+2CD)=CD+5.

設(shè)∠AMO=α，∠BMO=β，∠CMD=γ，則γ=π-(α+β).

由直角三角形邊角關(guān)系，得

tanα=a，tanβ=b，

CD=tanγ=tan(π-α-β)

=-tan(α+β)=a+bab-1=5ab-1.

由于a+b=5，由基本不等式，得ab≤(a+b)24=254，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=52時取最大值，所以當(dāng)a=b=52時CD取得最小值2021，面積S取得最小值12521.

評析 解法一的思路是設(shè)出直線AB，BC方程，求出交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再利用求函數(shù)最值的方法求出縱坐標(biāo)的最小值，進(jìn)而求得△ABC面積的最小值.這種解法計(jì)算量很大，很多學(xué)生算不出最終結(jié)果，而且會忽略對斜率的討論.解法二則充分挖掘圖形的幾何特征，即圓為△ABC的外切圓，再利用切線長定理把問題轉(zhuǎn)化為求線段CD的最值問題，并把CD的長用AO，BO表示，再用基本不等式即得解，整個過程計(jì)算簡捷，思路清晰，不易出錯.

解析幾何中涉及有關(guān)圓的問題時，應(yīng)優(yōu)先考慮能否運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)去解決問題，利用幾何圖形的直觀性，認(rèn)真分析圖形的特征，活用圓的幾何性質(zhì)，如圓的對稱性、圓周角與圓心角的關(guān)系、半徑、弦心距及半弦的關(guān)系、垂徑定理及其推論、切線長定理等，不僅可以迅速獲得解題途徑和方法，巧妙解決問題，而且可以大大減少運(yùn)算量，避免不必要的失誤，從而化難為易、化繁為簡，達(dá)到事倍功半的效果.