梅涅勞斯定理與共線點的證明

梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的.它是平面幾何中重要定理之一，在許多方面有著廣泛的應用.特別是在處理平面點共線問題時，能夠將幾何證明轉化為運算式進行處理，更為簡單、快捷，是解決該類問題的一個有力工具.

梅涅勞斯定理 設△ABC的三邊（所在直線）BC，CA，AB，被一直線分別截于X，Y，Z，則有BXXC#8226;CYYA#8226;AZZB=1.

證法1 如圖1，通過點C作直線CD∥XYZ，交直線AB于D，則

BXXC#8226;CYYA#8226;AZZB=BZZD#8226;DZZA#8226;AZZB=1.

證法2 如圖2，過A，B，C分別作直線XZY的垂線，設垂足分別為S，P，Q，由△AXQ∽△BXP，得AXXB=ASPB.

同理有CZZA=QCAS，BYYC=PBQC.

將這三式相乘，得AXXB#8226;BYYC#8226;CZZA=1.

說明 (1)如果直線與△ABC的邊都不相交，而相交在延長線上，同樣可證得上述結論，但一定要有交點，且交點不在頂點上，否則定理的結論中的分母出現零，分子也出現零，這時定理的結論應改為AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立.

(2)梅涅勞斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的邊AB和AC上分別取點X，Z，在BC的延長線上取點Y，如果AXXB#8226;BYYC#8226;CZZA=1，那么X，Y，Z共線”.梅涅勞斯定理的逆定理常被用來證明三點共線，運用定理的關鍵是要適當地選擇三角形及其截面.

例1 已知△ABC的內角∠B和∠C的平分線分別為BE和CF，∠A的外角平分線與BC的延長線相交于D，求證：D，E，F共線.

證明 如圖3，由三角形內、外角平分線定理有

AFFB=CABC，BDDC=ABCA，CEEA=BCAB，

三式相乘后，得

AFFB×BDDC×CEEA=1.

由梅涅勞斯定理的逆定理得F，D，E共線.

例2 平面上有兩個三角形△ABC和△A1B1C1，設它們的對應頂點（A和A1，B和B1，C和C1）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線.

證明 如圖4，△OBC被直線LB1C1所截，由梅涅勞斯定理，得

BLLC#8226;CC1C1O#8226;OB1B1B=1.

仿此，△OCA及△OAB各被直線MA1C1及NB1A1所截，又有CEEA#8226;AA1A1O#8226;OC1C1C=1，AFFB#8226;OA1A1A#8226;BB1B1O=1，

三式相乘化簡，得BDCD#8226;CEEA#8226;AFFB=1，

所以對△ABC由梅涅勞斯定理逆定理知，D，E，F共線.