例談實用暴破法在高中數學解題中的應用

實用暴破法是有一定效率的解題方法.它是由暴證學、爆破學導出的獨立的一種解題方法，與爆破學、暴證學相互滲透.它包括強行代入法、特殊值法、蒙特卡洛方法.這種解題方法力求用最經濟的思維方式去解決問題.如果用心留意，那么會發現在高中數學中，也有其應用的價值和存在的空間.

1.強行代入法

不論是在初等數學中還是在高等數學中，也不論是在選擇題還是在解答題中，代入法都是解題中常用的思想方法.它體現了一種重要的化歸思想.其應用非常廣泛，而且其應用方法也是靈活多樣的.

例1 （2010年江蘇高考第12題）設實數x，y滿足3≤x#8226;y2≤8，4≤x2y≤9，則x3y4的最大值是.

分析 這道題考查的主要是不等式的基本性質，通過等價轉化的思想進行解決.而解決這道題的一個節點是怎樣通過已知的“xy2”，“x2y”表示未知的“x3y4”.很多時候，我們可以將結果“湊”出來，但“湊”的本身就有很大的不確定性.當然我們也可以選擇將xy2，x2y作為整體“強行代入”x3y4.

即設x3y4=(xy2)m×x2yn，化簡得x3y-4=xm+2n#8226;y2m-n.

m+2n=3，2m-n=-4，解得m=-1，n=2.

又 ∵x2y2∈［16，81］，(xy2)-1∈18，13，

∴x3y4=x2y2#8226;(xy2)-1∈［2，27］，

∴x3y4的最大值是27.

點評 類似的，再如“若變量x，y滿足x+y≥0，x-y-2≤0，求z=x-2y的最大值”這樣的問題也可以用“強行代入”的方法解決.當然“代入法”的內涵和外延遠不止于此，作為中學解題的一種重要方法，它還有更加廣泛和靈活的應用.

2.特殊值法

用特殊情況代替題設中的普遍條件，得出特殊的結論，作出正確判斷的方法叫“特殊值法”.當題目已知條件中含有某些不確定的量，而題目的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將變量取一些特殊數值、特殊位置，或者一種特殊情況來求出這個定值.這樣，簡化了推理、論證的過程.這種方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函數、特殊角、特殊點、特殊數列等等），進行合理科學的判斷——否定或肯定，從而達到快速解題的目的.

例2 （2010年江蘇高考第13題）在銳角三角形ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，ba+ab=6cosC，則tanCtanA+tanCtanB=.

分析 考慮到a，b的對稱性，可以取a=b，即A=B時滿足條件，此時該三角形為等腰三角形，其中ba+ab=6cosC=2，即cosC=13，tanC=8，cosC=-cos(A+B)=-cos2A=-2cos2A+1=13，

解得cosA=33，tanA=2.

tanCtanA+tanCtanB=822+22=4.

點評 本題屬于難題，考查了正、余弦定理的綜合應用及等價轉化思想，需要學生在解題過程中不斷地結合條件以及結論進行調整解題思路.而如果注意到已知條件和所求結論對于角A，B和邊a，b具有輪換性，那么將A=B，a=b這一特殊情況代入特式中運算則會極大地減少推理、運算的過程.

3.蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基于“隨機數”的計算方法.由于這種方法需要大量“隨機數”進行“隨機模擬”，使其在應試中的應用變得不大現實.但是由于“算法”內容在高中數學中的滲透，以及計算機技術的普及，使得“蒙特卡洛方法”在高中數學中也有了存在的價值.

例3 口袋中裝有八個小球，其中有三個是白球，五個是黃球，從中一次取出兩個球，那么取出的兩個球都是白球的概率是多大？

分析 在本題中可以用0到7這八個數代表八個球，其中編號為0~2的球代表白球，但是所得到的兩個球是不可以重復選中的，即x在0到7中隨機地選擇了一個數以后，要保證再次隨機選擇的y不能和x重復，所以可以采用如下算法.

（在具體的操作中只要在Excel工作表中，選擇“工具/宏/Visual Basic編輯器”，在Visual Basic編輯器中再打開“視圖/代碼窗口”進行以下代碼的編寫.）

Sub 不放回()

s=0

n=InputBox(“實驗次數”)

For i=1 To n

x=Int(8*Rnd)

表示在0~7之間隨機地選擇一個整數

z=Int(7*Rnd)+1

表示在1~7之間隨機地選擇一個整數

y=(x+z)Mod8y表示x+z被8除得的余數

If x<3 And y<3 Then s=s+1

Next i

MsgBox(“同時摸到兩個白球的概率為”) s/n

End Sub

在實驗重復了一千萬次后得到的概率是0.1071192，而由公式算出的概率是0.10714.

點評 通過以上例題的解析可以看到，在計算機技術發展的今天，通過設計算法，再經過大量試驗得到概率的方法仍然是解決概率問題很實際的方法.雖然我們用“蒙特卡洛方法”解決上面的問題顯得有點小題大做，但是對于很多概率問題來說，如果我們可以將實際問題建立數學模型換化為數量關系，結合邏輯知識，設計成為合適的算法，就可以避免很多煩瑣的討論.