注重解題反思,培養思維品質

【摘要】《數學課程標準》明確指出“要著重培養學生回顧自己思考過程的習慣，了解反思的含義，經歷反思的活動，逐步形成反思的意識”.教師要引導學生注重解題反思，培養學生的思維品質.

【關鍵詞】解題反思；培養；思維品質

數學教學的核心任務，是培養學生的數學思維能力，強化解題反思意識，是提高數學思維能力的有效途徑.數學家波利亞在《怎樣解題》中將數學解題分為四個階段：弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧，過程中的回顧就是解題反思.下面就本人的教學實踐，談談注重解題反思，培養學生的數學思維品質的體會.

一、反思解題結果的正誤，培養學生思維的深刻性

在解題過程中，由于種種原因，會出現這樣或那樣的錯誤，因此解完一題后有必要啟發學生對解題結果的正誤進行反思，為此，在教學中可以有意識地設計一些錯例，引導學生辨析，培養學生思維的深刻性.

例如，在學習均值不等式時，可讓學生考慮：下列式子的最小值是2的是：A.x2+4+1x2+4，B.x+1x，C.2-3x-4x，D.x2+2x2+1.有的同學認為A，B，D正確，對老師提出的正確答案會感到意外.用均值不等式求最值應滿足三個條件：①正數；②構造或積的定值；③等號成立，這三個條件缺一不可，A，B，D三個選項都不能同時滿足三個條件.充分利用“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素”，找出錯誤的根源，避免思維的片面性.

二、反思解題方法的多樣性，培養學生思維的廣闊性

對同一道題，如果從不同的角度進行分析研究，可以得到不同的啟示，引出多種不同的解法，進一步形成認知能力，提高解題能力.

例1 要使|x+2|+|x-3|≥a恒成立，求a的取值范圍.

解法一 令f(x)=|x+2|+|x-3|，則

f(x)=2x-1(x≥3)，5(-2

函數的圖像如圖.

∴f(x)值域［5，+∞).

從而，f(x)≥a恒成立，必須有a≤5.

解法二 ∵|x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5且等號能成立，∴a≤5.

解法三 由絕對值的幾何意義，在數軸上令A(-2)，B(3)，C(x)，則|x+2|+|x-3|=|AC|+|BC|≥|AB|=5，∴a≤5.

尋求最優最快的解法，讓學生在解題中感到成功的喜悅，提高思維的廣闊性.

三、反思解題的多變性，培養學生思維的靈活性

一個數學問題解決后，教師應啟發引導學生再思考，形成一種反思回顧的好習慣.反思題目的變式，由一道題的演變，學生學會了一類題，做到舉一反三、觸類旁通，培養學生思維的靈活性.

變式1 已知|x+2|-|x-3|≥a恒成立，求a的取值范圍.

變式2 已知|x+2|+|x-3|

變式3 要使|x+6|+|x+2|+|x-3|≥a恒成立，求a的取值范圍.

變式4 要使3|x+2|+2|x-3|≥a恒成立，求a的取值范圍.

變式5 已知x，y∈R，不等式(x-2)2+y2+(x+1)2+(y-4)2≥a恒成立，求a的取值范圍.

通過反思，學生的思維就會呈“萬馬奔騰”之勢，增強了驅動力，使學生的思維能力得到訓練，還可以鞏固“三基”，拓展知識面，提高思維靈活性.

四、反思題目的結構特征，培養學生思維的創造性

在解題中，還可以引導學生從題目本身的結構入手，觀察題目的結構特征，善于聯想，打破常規，得到簡捷快速的解答，經常這樣啟發和引導，有利于培養學生思維的創造性.

例2 若M=(s-t)2+2-s2-9t2，試求M的最小值.

本題是美國普特南大學數學競賽題，該題若用純代數方法來解，相當麻煩，其實我們只要注意到題目幾何意義，構造數形結合，顯得簡單明快.

觀察已知代數式結構可知與兩點距離公式完全一致，兩點又分加在兩曲線上，于是可結合圖形解答.

令x1=s，y12-s2，x2=t，y2=9t，要求M最小值轉化為求兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）間距離的最小值，因為y1=2-x21，所以x21+y21=2（y1≥0），y2=9x2，在同一坐標內作出半圓x2+y2=2（y≥0）及雙曲線y=9x的圖像，則要求M的最小值又轉化為求兩曲線間的最小距離，觀察圖形且利用曲線的幾何性質知直線y=x、半圓及雙曲線交點A（1，1），B（3，1）兩點間的距離最小，Mmin=|AB|2=8.

解數學問題時，常規的思考方法是由條件到結論的定向思維，但有些問題按照這樣的思維方式尋求解題途徑比較困難，在這種情況下，我們可改變思維方式，找到一條繞過障礙的途徑，可使學生的思維更具有創造性.

數學能力的提高在于解題的質量和豐富的解題體驗而非解題的數量.解題質量的提升和解題經驗的獲得，必須引導學生對解題的過程進行再認識，再思考，也就是要對解題的過程進行必要的反思.