一道高考調研試題的推廣

題目 已知橢圓x24+y2=1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點.

（1）當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標.

（2）當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由.

解 （1）直線AM的斜率為1時，將直線AM：y=x+2

代入橢圓方程，并化簡得5x2+16x+12=0，

解得x1=-2，x2=-65，∴M-65，45.

（2）設直線AM的斜率為k，直線AM：y=k(x+2)，

則y=k(x+2)，x24+y2=1，化簡得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.

∵此方程有一個根為-2，∴xM=2-8k21+4k2.

同理可得xN=2k2-8k2+4.

由（1）知，若存在定點，則此點必為P-65，0.

∵kMP=yMxM+65=5k4-4k2，

同理可計算得kNP=yNxN+65=5k4-4k2.

∴直線MN過x軸上的一定點P-65，0.

說明 此題為江蘇省無錫市2010年秋學期高三期末考試數學試卷第18題，筆者解完后覺得本題第二個小問題值得推廣，經筆者認真思考、大膽猜想、小心推廣、仔細求證得到了圓錐曲線頂點弦的有趣性質.

一、將調研試題中給定具體橢圓進行一般性推廣

注意到調研試題中涉及的曲線為一個具體的、給定的、特殊的橢圓，考慮將x24+y2=1推廣為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，于是得到推廣1.

推廣1 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N兩點.試問：當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由.

證明 設直線AM的斜率為k，直線AM：y=k(x+a)，則直線AN的斜率為-1k，直線AN：y=-1k(x+a).將直線AM方程與橢圓方程聯立如下：

x2a2+y2b2=1，y=k(x+a)，消去y，得

(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a4k2-a2b2=0.

∵此方程有一個根為-a，∴xM=ab2-a3k2a2k2+b2，

于是可得點Mab2-a3k2a2k2+b2，2ab2ka2k2+b2，

同理可得Nab2k2-a3b2k2+a2，-2ab2kb2k2+a2 .

（1）當k2≠1時，kMN=2ab2ka2k2+b2--2ab2kb2k2+a2ab2-a3k2a2k2+b2-ab2k2-a3b2k2+a2=(a2+b2)k(1-k2)a2.

直線MN：y-2ab2ka2k2+b2=(a2+b2)ka2(1-k2)x-ab2-a3k2a2k2+b2.

令y=0，得x=-2ab2ka2k2+b2×a2(1-k2)(a2+b2)k+ab2-a3k2a2k2+b2=(b2-a2)aa2+b2，直線MN過定點P(b2-a2)aa2+b2，0；

（2）當k2=1時，直線MN方程為x=(b2-a2)aa2+b2，此時直線MN過定點P(b2-a2)aa2+b2，0，∴直線MN過x軸上的一定點P(b2-a2)aa2+b2，0.

二、將調研試題中給定具體橢圓推廣為雙曲線和拋物線

注意到調研試題中給定曲線為圓錐曲線之一的橢圓，考慮將其橢圓x24+y2=1推廣為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0，a≠b)及拋物線y2=2px(p>0)后，發現頂點弦也同樣具備類似結論，于是得到推論2，3.

推廣2 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0，a≠b)的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交雙曲線于M，N兩點.試問：當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由.

證明 設直線AM的斜率為kk≠±ba，直線AM：y=k(x+a)，則直線AN的斜率為-1k，直線AN：y=-1k(x+a).將直線AM方程與雙曲線方程聯立如下：

x2a2-y2b2=1，y=k(x+a)，消去y，得

(b2-a2k2)x2-2a3k2x-a4k2-a2b2=0.

∵此方程有一個根為-a，

∴xM=ab2+a3k2b2-a2k2，于是可得點Mab2+a3k2b2-a2k2，2ab2kb2-a2k2.

同理可得Nab2k2+a3b2k2-a2，-2ab2kb2k2-a2.

（1）當k2≠1時，kMN=2ab2kb2-a2k2--2ab2kb2k2-a2ab2+a3k2b2-a2k2-ab2k2+a3b2k2-a2=(b2-a2)k(k2-1)a2.

直線MN：y--2ab2kb2k2-a2=(b2-a2)k(k2-1)a2x-ab2k2+a3b2k2-a2.

令y=0，得x=--2ab2kb2k2-a2×(b2-a2)k(k2-1)a2+ab2k2+a3b2k2-a2=(b2+a2)ab2-a2，直線MN過定點P(b2+a2)ab2-a2，0；

（2）當k2=1時，直線MN方程為x=(b2+a2)ab2-a2，此時直線MN過定點P(b2+a2)ab2-a2，0，∴直線MN過x軸上的一定點P(b2+a2)ab2-a2，0.

說明 當a=b時，過左頂點作不出兩條相互垂直的直線分別與雙曲線相交于不同兩點.

推廣3 已知拋物線y2=2px(p>0)的頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交拋物線于M，N兩點.試問：當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由.

證明 設直線AM的斜率為k，直線AM：y=kx，則直線AN的斜率為-1k，直線AN：y=-1kx.將直線AM方程與拋物線方程聯立如下：

y2=2px，y=kx，消去y，得k2x2-2px=0.

∵此方程有一個根為0，∴xM=2pk2.

于是可得點M2pk2，2pk，同理可得N(2pk2，-2pk).

（1）當k2≠1時，kMN=2pk-(-2pk)2pk2-2pk2=k1-k2.

直線MN：y-(-2pk)=k1-k2(x-2pk2).再令y=0，得x=2pk×1-k2k+2pk2=2p，直線MN過定點P(2p，0).

（2）當k2=1時，直線MN方程為x=2p，直線MN過定點P(2p，0)，∴直線MN過x軸上的一定點P(2p，0).