基于數模理論的生物種群穩定發展研究

【摘要】以某國家公園大象種群為典型案例，研究探討了生物種群在穩定發展過程中的一些問題.根據該大象種群的生存基本情況，通過數學建模的方法，分析研究了象群的存活率、年齡結構、避孕數量及種群恢復能力等問題，為維持生物種群的穩定發展，提供相關策略及預測.

【關鍵詞】生物種群；穩定發展；數學建模

一、引 言

生物種群的發展受多種因素的影響，包括種群自身因素、人為因素及環境因素等，因此，要維持某一種群的穩定發展，就必須考慮各方面因素的影響.本文針對某大象種群的具體案例，借助特殊的數學手段，包括一次方程組模型、差分方程模型等，較為精確地研究分析了種群在穩定發展過程中涉及的一些具體問題.

二、大象種群案例

位于非洲某國的國家公園中棲息著近11000頭大象，管理者要求有一個健康穩定的環境以便維持這個11000頭大象的穩定種群.管理者逐年統計了大象的數量，發現在過去的20年中，整個大象群經過一些偷獵槍殺以及轉移到外地還能保持在11000頭的數量，而其中每年大約有近600頭到800頭是被轉移的.

近年來，偷獵被禁止，并且每年要轉移這些大象也比較困難，因此，要控制現在的數量就使用了一種避孕注射法.用這種方法注射一次可以使得一頭成熟母象在兩年內不會受孕.

目前在公園中已經很少發生移入和移出大象的情況.大象的性別比也非常接近于1∶1，且采取了某些措施維持這個性別比.新出生的幼象的性別比也在1∶1左右，而雙胞胎的機會接近于1.35%.

母象在10歲和12歲之間將第一次懷孕，平均每3.5年產下一個幼象，直到60歲左右為止，每次懷孕期為22個月.注射避孕藥會使母象每月發情，但不會懷孕.象通常在3.5年中僅僅求偶一次，所以這種注射不會引起其他附加的反應.

新生的幼象中只有70%到80%可以活到1歲，但是其后的存活率很高，要超過95%，并且這個存活率在各個年齡段都是相同的，一直到60歲左右，該大象種群的最高年齡在70歲左右.該國家公園內部不允許狩獵，對偷獵的管制也十分嚴格.

該公園沒有被射殺的和被留下的象的有關信息，但是有一份近兩年內從這個地區運出的大象的大致年齡和性別的統計資料，經簡單統計整理成表1.

三、種群模型假設及模型符號說明

1.模型假設

為了對種群發展問題進行數學建模分析，需要對種群基本情況作出一些合理的假定.本文根據該大象種群的具體情況，作出如下假定：

(1)假設近兩年各年齡段轉移出的大象數目是按照其占總體的比例來轉移的；

(2)假設0歲大象的存活率為75%（即p0=75%），70歲的存活率為0；

(3)假設61歲到70歲的大象頭數呈直線遞減；

(4)假設轉移的大象都處在1～60歲之間；

(5)假設在由于災難等原因導致的象群的大規模死亡現象中，各年齡大象的死亡數量大致服從象群的年齡結構比例，且象群在理想情況中恢復.

2.符號說明

在對種群發展建立數學模型的過程中，需要用到各類代數符號，以下表示各符號所代表的具體意義.ni:各年齡大象的頭數；p0:0歲大象的存活率；p1:1～60歲大象的存活率；pi:61～70歲大象的存活率(i=61，62，…，70)；b:每頭母象的正常繁殖率；b′:避孕后每頭母象的繁殖率；k:第k年；N:每年注射避孕藥的大象數量.

四、種群穩定發展分析

1.存活率

該大象種群中絕大部分象的年齡處于1～60歲之間，以下只研究該年齡段大象的存活率問題，為此，建立一次方程組模型.

根據象群總數為11000，建立第一個方程：

n0+∑60i=1ni+∑70i=61ni=11000.(1)

利用象群的存活規律以及轉移情況，建立第二個方程：

(n0×p0+∑60i=1ni×p1+∑70i=61ni-n61)+n0-700=11000.(2)

根據表1數據以及繁殖規律，有以下的推算關系：

1～10歲的大象占1～60歲大象總量的比例為:

67622+1698762=15.032%.

從而11～60歲的能生小象的母象占1～60歲大象總量的比例為:(1-15.032%)×0.5=42.48%.

而根據題意，母象每3.5年生一頭小象，且雙胞胎的機會為1.35%，相當于每年生0.2896頭，所以0歲的大象占1～60歲的大象總量的比例為:42.48%×0.2896=12.303%.

所以0歲大象的數量為：n0=12.303%×∑60i=1ni.(3)

此外，利用表1的數據，可以大致求出60歲的大象占運出的大象總量的比例為：208762=1.14%.

所以61歲大象的數量為：n61=1.14%×p1×∑60i=1ni.(4)

而根據假設3可知，61~70歲大象的數量是一個遞減的等差數列，

從而有：∑70i=61ni=12×11×1.14%×p1×∑60i=1ni.(5)

聯立以上方程(1)～(5)，利用Mathematica可方便求得：

p1=0.994498，n0=1141，∑60i=1ni=9281，∑70i=61ni=578.

即該大象種群1～60歲年齡段大象的存活率為99.4498%.

2.年齡結構

利用前述一次方程組模型，就已經可以得出0歲以及61~70歲大象的數量，因此要推算象群的年齡結構，關鍵就是要得出1~60歲大象的數量分布.

根據每個年齡的大象的存活率關系，可以建立以下的方程模型：∑59i=0n1#8226;pi1=∑60i=1ni.

求解上述模型便可知每個年齡大象的數量，從而便大致推斷出了象群年齡結構.

3.避孕數量

目前公園中已較少發生移入和移出大象的情況，因此以下針對每年移出50~300頭象的情況，分析確定每年母象的避孕數量.

根據假設（4），轉移的都為1~60歲之間的大象.由轉移的不同數量，利用前述一次方程組模型，求出轉移50~300頭大象后的相應存活率及此時1~60歲大象的頭數，從而再建立以下方程模型：(p1-p′1)#8226;(∑60i=1ni)′=2N#8226;0.1448.

即為了保持大象種群數量的穩定，每年由于向外轉移而必須少出生的大象數量即為避孕導致的少出生的大象數量.前者通過存活率的減少來算，后者通過避孕大象數量來算.通過這種“算兩次”的方法求解避孕數量.

選取每50頭為移出數量間隔，計算相應的避孕數量，如表2所示.

4.種群恢復能力

如果由于某種原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一場災難導致大量象的死亡），此時便需要分析預測象群重新壯大的能力.

根據假設（5），按照象群的年齡結構比例來假設各年齡大象的死亡情況，即各年齡象群死亡數量呈比例分布，死亡率相等.設生還率為p(0

根據模型計算出大象種群在不同生還率情況下恢復到原來規模所需的年數.

五、結 語

本文針對該大象種群的具體情況建立了比較合理的模型，對象群穩定發展中的某些問題進行了相關探討，反觀以上得出的各項結果，都比較符合實際情況.本文對大象種群穩定發展問題所采取的研究方法可以推廣到類似的種群發展問題上.

但是，在處理具體問題的過程中，也忽略了一些自然生存情況，比如：種內斗爭、非正常死亡、避孕藥的實際功效、性別比例非理想的1∶1等問題，對于各類生物種群，這些因素都會在一定程度上影響種群的穩定發展，需要更深入的研究來考慮這些因素的影響.

【參考文獻】

［1］趙靜，但琦.數學建模與數學實驗［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［2］吳劍，胡波.掌握和精通Mathematica4.0［M］.北京:機械工業出版社，2001.