由一道課本例題嘆后生可畏

不久前，筆者上了一堂余弦定理應用的習題課，此前準備了幾道例題，其中一道是普通高中課程標準實驗教科書必修5第一章《解三角形》中余弦定理部分的例6.

例 如圖，AM是△ABC中BC邊上的中線.求證：AM=122(AB2+AC2)-BC2.

此題的意圖是進一步鞏固余弦定理在解三角形中的應用，培養學生分析問題、解決問題的能力.然而，出乎筆者意料的是，學生提供了一系列的解決方案，致使筆者預設的美好藍圖被他們的思維給打亂了，不得不驚嘆:后生可畏啊！

方法一 利用互補兩角關系，借助余弦定理，構建方程解之.

設∠AMB=α，則∠AMC=180°-α.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2=AM2+BM2-2AM#8226;BMcosα.

在△ACM中，由余弦定理，得

AC2=AM2+CM2-2AM#8226;CMcos(180°-α).

∵cosα=-cos(180°-α)，BM=MC=12BC，

∴AB2+AC2=2AM2+12BC2.

從而AM=122(AB2+AC2)-BC2.

方法二 一角兩求，借助余弦定理，構建方程解之.

在△ABC中，由余弦定理，得cosB=AB2+BC2-AC22AB#8226;BC.

在△ABM中，由余弦定理，得cosB=AB2+BM2-AM22AB#8226;BM.

∵BM=MC=12BC，

∴AB2+BC2-AC2=2AB2+14BC2-AM2.

從而AM=122(AB2+AC2)-BC2.

方法三 向量搭橋，數量積唱戲.

AB=MB-MA，AC=MC-MA.

將上述兩式平方，得

AB2=MB2+MA2-2MB#8226;MA，AC2=MC2+MA2-2MC#8226;MA.

借助向量的數量積轉化MB#8226;MA與MC#8226;MA，以下同方法一.

方法四 建系求點，精細刻畫.

以B為坐標原點，BC邊所在直線為x軸，建立如圖所示直角坐標系.

設AB=c，BC=a，AC=b，則得到以下點的坐標為

A(ccosB，csinB)，B(0，0)，C(a，0)，Ma2，0.

由兩點間距離公式，得

AM2=c2cos2B+a24-accosB+c2sin2B

=c2+a24-accosB.(*)



又 AC2=c2cos2B+a2-2accosB+c2sin2B

=c2+a2-2accosB=b2，

∴c2+a2-b22=accosB.

將上式代入（*）式，得AM2=12(b2+c2)-14a2.

從而AM=122(AB2+AC2)-BC2.

方法五 借已知結論巧補形.

已知結論：平行四邊形對角線平方和等于四邊平方和.

如圖，以AB，AC為鄰邊補平行四邊形ABDC，則有

AD2+BC2=2(AB2+AC2).

∴AD2=2(AB2+AC2)-BC2.

又 AM=12AD，

∴AM=122(AB2+AC2)-BC2.

方法六 借余弦定理之形妙補形.

延長BA至N，使AN=AB，則AM∥NC且AM=12NC.

要證AM=122(AB2+AC2)-BC2，

只要證AM=12AB2+AC2+(AB2+AC2-BC2).

由余弦定理，即證AM=12AB2+AC2+2AB#8226;ACcos∠BAC.

又 AB=AN，cos∠BAC=-cos∠CAN，

只要證AM=12AN2+AC2-2AN#8226;ACcos∠NAC.

由余弦定理知AN2+AC2-2AN#8226;ACcos∠NAC=NC2.

從而只要證AM=12NC，這顯然成立，從而得證.

課堂上的一些“意外之舉”“節外生枝”中不乏可貴的積極的創新的因素，這是學生自主學習的表現，更是學生在課堂上智慧之泉的涌動.這些亮點是學生學習的頓悟、靈感的萌發、瞬間的創造，稍縱即逝，我們必須及時捕捉學生的奇思妙想，選擇恰當方式把“意外亮點”當作生成的“課眼”，開發學生的創新潛能，使課堂在動態生成過程中達成教學目標.