也談“切變變換”

《中學教研（數學版）》2009（11）《對一道“切變變換”題的錯解分析》一文的觀點是錯誤的.首先此文提到的例題本身就是個錯題，此題為2009年江蘇省某市高三模擬試題，該題是沒有答案的.

題目 如圖所示，四邊形ABCD和四邊形AB′C′D分別是矩形和平行四邊形，其中點的坐標分別為A（-1，2），B（3，2），C（3，-2），D（-1，-2），B′（3，7），C′（3，3），求將四邊形ABCD變成AB′C′D的變換矩陣M.

本人有三種方法說明此文的觀點是錯誤的.

第一種方法，也是大家最容易想到的方法：

正如文章給出的“錯解(二)”：設矩陣M=abcd.

∵矩陣M對應的變換將A（-1，2），B（3，2），C（3，-2），D（-1，-2）變換為A′（-1，2），B′（3，7），C′（3，3），D′（-1，-2），

∴abcd-133-122-2-2=-133-1273-2，

則有-a+2b=-1，3a+2b=3，3a-2b=3，-a-2b=-1，-c+2d=2，3c+2d=7，3c-2d=3，-c-2d=-2.

此方程組無解，故矩陣M不存在.所以題目本身就是錯誤的，但是此文給出了本題的正解，既然是錯題，何來正解？

第二種方法：圖中的原點O(0，0)在矩陣M的作用下，上移了“一些”，即變為O′(0，k)(k≠0)，但是由于abcd00=00，即任何一個矩陣對應的變換不可能將原點O(0，0)“移走”！故矩陣M不存在.

第三種方法：在《對一道“切變變換”題的錯解分析》一文中作者給出的正解.

其實我們可以通過將圖形整體平移使得不動點都在x軸或y軸上，再進行求解.

解 設在四邊形ABCD上任取一點P(x，y)，向右移1個單位得點(x+1，y).

四邊形AB′C′D上與點P相對應的點為P′(x′，y′)，也向右平移1個單位得點(x′+1，y′).

因此平移之后，可看成豎直方向的切變變換，設M=10k1，則10k1x+1y=x′+1y′.

將B(3，2)，B′(3，7)代入左式，得k=54.

∴M=10541.

該變換為T：x+1y→x′+1y′=10541x+1y.

在解題過程中我們注意到作者犯了一個錯誤：“可以通過將圖形整體平移使得不動點都在x軸或y軸上，再進行求解.”作者也知道原來圖形對應的變換不太好求，通過平移以后就是我們熟悉的模型——沿豎直方向的切變變換，該變換對應的一般矩陣為10k1(k≠0)，但是這樣一來，所求的矩陣就是平移以后的圖形對應的變換矩陣了，與原題完全是兩個不同的問題.

題目變為：如圖，四邊形ABCD和四邊形AB′C′D分別是矩形和平行四邊形，其中點的坐標分別為A（0，2），B（4，2），C（4，-2），D（0，-2），B′（4，7），C′（4，3），求將四邊形ABCD變成AB′C′D的變換矩陣N.

不難求出這里的變換矩陣N=10541，而原文中把這里的變換矩陣N就當成了原題所求的矩陣M.

事實上，矩陣M對應的變換應該是先執行一個“平移變換”TP，再執行一個切變變換TN，由矩陣乘法的定義知，M=NP.作者求解的方法有些誤導讀者的意思，稍不小心就被作者帶進錯誤觀點之中.

研究了這個問題之后，我們再回顧中學課本里《矩陣與變換》一章內容，僅介紹了六種初等變換——恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉變換、投影變換、切變變換，沒有“平移變換”，那“平移變換”是否存在呢？答案是否定的.因為“平移變換”必須涉及水平或垂直方向的平移（其他方向可以通過水平與垂直方向的平移復合形成）.以水平方向的平移為例，設圖形C上任意一點A(x，y)經過“平移變換”T作用后變為A′(x+k，y)(k≠0)，設T對應的變換矩陣為P=abcd，由xy→x′y′=abcdxy=ax+bycx+dy，∴x+k=ax+by，y=cx+dy恒成立，∴a=1，b=0，c=0，d=1，k=0，這與k≠0矛盾.∴P不存在.所以“平移變換”對應的矩陣是不存在的，即不存在“平移變換”.其實也可以通過本文的第二種方法中的結論“任何一個矩陣不可能將原點O(0，0)“移走”來說明.

由上面的推理知道，切變變換只適用于不動點在坐標軸上的情形，原題中不動點位于直線x=-1上，所以它不存在相應的變換.

【參考文獻】

對一道“切變變換”題的錯解分析.中學教研（數學版），2009（11）.