淺談高中新課程中不等式證明的方法——構造法

【摘要】高中數學課程中不等式的證明是數學教學的一個難點，它的綜合性、技巧性較強，方法靈活多樣，沒有固定的證明格式，在教學過程中為了突破難點，不僅要求學生掌握不等式證明的基本方法，如比較法、綜合法、分析法等，同時還可以根據不等式的結構特點用構造的方法證明，不但簡捷奏效而且能夠培養學生的創新和應用能力.

【關鍵詞】構造；不等式；證明

高中數學課程中不等式的證明是數學教學的一個難點，它的綜合性、技巧性較強，方法靈活多樣，沒有固定的證明格式.在教學過程中為了突破難點，不僅要求學生掌握不等式證明的基本方法，如比較法、綜合法、分析法等，同時還可以根據不等式的結構特點用構造的方法證明，不但簡捷奏效而且能夠培養學生的創新和應用能力.本文就通過列舉一些具體的例子來探討怎樣借助構造法來證明不等式.

例1 已知00，求證：ab

思路1 眾所周知，糖水加糖會變更甜.它所抽象出來的數學模型便是已知00，則ab

證明 在坐標平面內，設點M(b，a)，N(-m，-m).

∵a，b，m都是正數且a

則點M在第一象限內直線y=x的下方，點N在第三象限內直線y=x上.

MN的斜率=a+mb+m，OM的斜率=ab.直線MN的傾斜角大于直線OM的傾斜角，故MN的斜率>OM的斜率，即a+mb+m>ab.

評注 這道題構造的重要之點在于，善于發掘題設條件中的幾何意義從而構造出幾何圖形，把代數問題轉化為幾何問題來解決.

思路2 它也可以構造函數來證明.

證明 構造函數f(x)=a+xb+x(x>0，b>a>0).

∵f′(x)=b-a(b+x)2>0，

∴f(x)在(0，+∞)上單調遞增.

又 ∵m>0，∴f(m)>f(0)，也即a+mb+m>ab.

評注 在求解某些數學問題時，可以根據問題的自身條件，構造出新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用新函數自身的特性來解決問題，這是一種行之有效的解題方法.

例2 若a，b，c，d∈R，求證：二維形式柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

思路1 觀察不等式的結構發現可以構造兩個向量α=（a，b），β=(c，d)，則a2+b2為向量α的模長，c2+d2為向量β的模長，而ac+bd為α與β的數量積，于是從兩個向量的數量積與它們的模的關系入手，易證.

證明 設α=（a，b），β=(c，d)，則

|α#8226;β|=|ac+bd|，|α||β|=a2+b2#8226;c2+d2.

∵α#8226;β=|α|#8226;|β|cos〈α#8226;β〉，且|cos〈α#8226;β〉|≤1，

∴|α#8226;β|≤|α|#8226;|β|.

因此(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

思路2 從不等式的角度考慮，啟發學生先分析要證(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，只要證(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)≤0，即［2(ac+bd)］2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0.從形式上看很像b2-4ac≤0，因此構造一個二次函數f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)，而且這個二次函數的值域是［0，+∞)，所以判別式會小于等于0，則不等式成立.

證明 構造二次函數f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)2.

∵對于任意的實數x均有f(x)≥0，∴f(x)=0的判別式Δ=［-2(ac+bd)］2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0.

故(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

例3 已知：a>0，b>0，c>0，求證：a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2，當且僅當1b=1a+1c時取等號.

分析 從三個根式的結構特點容易聯想到余弦定理.

證明 構造如右圖形.

作OA＝a，OB＝b，OC＝c，

∠AOB=∠BOC=60°，如圖.

則∠AOC＝120°，

AB=a2-ab+b2，BC=b2-bc+c2，

AC=a2+ac+c2.

由幾何知識可知AB＋BC≥AC，

∴a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2，

當且僅當A，B，C三點共線時等號成立，此時有

12absin60°+12bcsin60°=12acsin120°，即ab+bc=ac.

故當且僅當1b=1a+1c時取等號.

評注 如果問題條件中的數量關系有明顯的幾何意義，或以某種方式與幾何圖形相連接，則通過作出與其相關的圖形，將問題的條件和數量關系直接在圖形中表現出來.

例4 證明： x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2≥22.

分析 從不等式左邊的結構特點容易聯想到復數的模.

證明 將左邊看成復數z1=x+yi，z2=x+（1－y）i，

z3=(1－x)+yi，z4=(1－x)+（1－y）i模的和.

又注意到z1＋z2＋z3＋z4＝2＋2i，于是由

|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|，得

x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2≥22+22=22.

評注 這道題也可以利用構造向量的方法來做.

例5 設an=1#8226;2+2#8226;3+…+n#8226;(n+1)(n=1，2，…).求證：不等式n(n+1)2

證明 構造數列{bn}，bn=an-(n+1)22.

∵bn+1-bn=(an+1-an)-(n+2)22-(n+1)22

=(n+1)(n+2)-2n+32

=-(n+1-n+2)22<0，

∴bn+1

故an<(n+1)22.

同理構造數列{cn}，cn=an-n(n+1)2.

∵cn+1-cn=(n+1)(n+2)-(n+1)

=n+1(n+2-n+1)>0，

∴cn+1>cn，即{cn}是遞增數列.

∴cn+1>c1=2-1>0.

故有an>n(n+1)2.綜上所述原不等式成立.

評注 這道題還可以用數學歸納法和放縮法，但是數學歸納法過程比較繁瑣，而放縮法的技巧性很強，難度較大.用構造數列的方法證明，可使證明過程思路清晰，簡捷明快.

通過以上幾個例子我們發現構造法是一種創造性的教學方法，在不等式證明中，可以根據不等式的結構特點構造適當的函數、向量、復數、數列、方程、幾何圖形等來證明，使問題簡單化，并且構造法會促使學生熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能并加以綜合利用，這對學生的多元思維十分有利.

【參考文獻】

［1］金雅芳.構造數列解題的若干策略.

［2］柯友富.構造法證不等式［J］.高中數學教與學，2004(10).