函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若推廣到一般情況可以得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，得到函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸.奇偶性同學(xué)們比較熟悉，對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題感覺(jué)較難.下面通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)研究有關(guān)對(duì)稱(chēng)性的問(wèn)題.

一、求對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸

例1 （2008年江蘇名校聯(lián)考）函數(shù)y=f(x)與y=g(x)有相同的定義域，且都不是常函數(shù)，對(duì)定義域中的任意x，有f(x)+f(-x)=0，g(x)g(-x)=1，且x≠0，g(x)≠1，則F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)是.（判斷奇偶性）

解析 由題意可知F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)

=-2f(x)1g(x)-1-f(x)=2f(x)g(x)g(x)-1-f(x)

=2f(x)g(x)-［g(x)-1］f(x)g(x)-1

=2f(x)g(x)-1+f(x)=F(x)，

∴F(x)是偶函數(shù).

評(píng)注 判別函數(shù)奇偶性可以通過(guò)定義：先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則非奇非偶；然后判斷f(x)，f(-x)相等或互補(bǔ)，相等則為奇函數(shù)，互補(bǔ)則為偶函數(shù)，否則非奇非偶.也可以通過(guò)圖像的對(duì)稱(chēng)性來(lái)判斷.

例2 （2011年鎮(zhèn)江期末考試）函數(shù)f(x)=2cos212x-12-xx-1的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為.

解析 f(x)=cos(x-1)+1-xx-1=cos(x-1)x-1-1，設(shè)g(x)=cosxx，則f(x)=g(x-1)-1.

∵g(x)是奇函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)中心為（0，0），

而f(x)的圖像是由g(x)的圖像向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，故f(x)的對(duì)稱(chēng)中心是把原點(diǎn)（0，0）按向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)(1，-1)，

∴f(x)的對(duì)稱(chēng)中心為(1，-1).

評(píng)注 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，利用函數(shù)圖像間的平移變換，把易求的函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心同樣平移成待求的函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

例3 （2010年上海春季）已知函數(shù)f(x)=14-2x的圖像關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

解析 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），由定義得到f(x)+f(2a-x)=2b對(duì)任意x∈R恒成立，

f(x)+f(2a-x)=14-2x+14-22a-x

=14-2x+14-22a-x

=4-2x+4-22a-x(4-2x)(4-22a-x)=2b，

∴8-2x-22a-x=2b［16-4(2x+22a-x)+22a］，

∴8-32b-2b#8226;22a=(1-8b)(2x+22a-x)對(duì)任意x∈R恒成立，

∴1-8b=0，8-32b-2b#8226;22a=0，∴a=2，b=18，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，18.

評(píng)注 若自身對(duì)稱(chēng)曲線f(x)的對(duì)稱(chēng)中心為P(a，b)，則f(x)+f(2a-x)=2b對(duì)任意x∈R恒成立，利用恒等式，可直接求出.

二、已知對(duì)稱(chēng)中心或?qū)ΨQ(chēng)軸求參數(shù)

例4 （2006年江蘇）已知a∈R，函數(shù)f(x)=sinx-|a|，x∈R為奇函數(shù)，則a=.

解析 解法一：由函數(shù)f(x)=sinx-|a|是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(0)=sin0-|a|=-|a|=0，即|a|=0，則a＝0.

解法二：f(-x)+f(x)=0，得|a|=0，則a＝0.

評(píng)注 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，除了通過(guò)奇函數(shù)定義解題，還可以考慮特殊值，若在x=0處有定義，則有f(0)=0，可以用此性質(zhì)快速解決問(wèn)題.

例5 已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)-kx(x∈R)為偶函數(shù)，則k=.

解析 解法一：f(-x)=log4(4-x+1)+kx=log41+4x4x+kx=log(4x+1)-x+kx=f(x)，

∴-x+kx=-kx對(duì)任意x∈R恒成立，∴k=-12.

解法二：由f(-1)=f(1)，同樣可以得到k=-12.

評(píng)注 偶函數(shù)通過(guò)定義直接恒等變形或特殊值法.

三、利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)解決問(wèn)題

例6 函數(shù)y=f(x)在(0，2)上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，把f(1)，f52，f72用“<”連接起來(lái)是.

解析 ∵函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，

∴f(2+x)=f(2-x)，f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng).

∵在(0，2)時(shí)單調(diào)遞增，

∴在(2，4)時(shí)單調(diào)遞減，f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3).

∴f72

評(píng)注 函數(shù)在某個(gè)區(qū)間具有單調(diào)性，由函數(shù)的圖像用對(duì)稱(chēng)性可以推到其他區(qū)間.

例7 (2009年山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8，8］上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=.

解析 ∵定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(x-4)=-f(x)，∴f(x-4)=f(-x).

∵f(x)為奇函數(shù)，

∴函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)且f(0)=0，由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，

∴函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù).

又 ∵f(x)在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù)，

∴f(x)在區(qū)間［-2，0］上也是增函數(shù).

如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8，8］上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1

由對(duì)稱(chēng)性知x1+x2=-12，x3+x4=4，

∴x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

評(píng)注 函數(shù)若有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心或兩條對(duì)稱(chēng)軸以及有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心一條對(duì)稱(chēng)軸，可以推導(dǎo)出函數(shù)具有周期性，進(jìn)而得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想通過(guò)圖像解答問(wèn)題.

例8 已知a>0，函數(shù)f(x)=2012x+1+20102012x+1的最大值為M，最小值為N，則M+N=.

解析 f(-x)=2012-x+1+20102012-x+1=2012+2010#8226;2012x1+2012x，

f(x)+f(-x)=2012x+1+20102012x+1+2012+2010#8226;2012x1+2012x

=4022(1+2012x)1+2012x=4022，

∴f(x)關(guān)于點(diǎn)(0，2011）對(duì)稱(chēng).

∴f(x)最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0，2011)對(duì)稱(chēng).

∴M+N=4022.

評(píng)注 通過(guò)研究函數(shù)解析式，發(fā)現(xiàn)函數(shù)隱藏的對(duì)稱(chēng)性，并運(yùn)用該性質(zhì).