例談用點到平面的距離巧解線面角

【摘要】利用體積法或向量法求點到平面的距離間接求得直線與平面所成的角.

【關鍵詞】點；平面；距離；角

求直線與平面所成的角是近幾年高考在立體幾何方面的命題熱點，也是考查學生空間想象能力的較好的知識點，一般地是根據定義找出這直線在平面的射影，但有時比較難確定該直線在平面內的射影；當直線在平面內的射影不易確定時我們就可以另辟路徑，把線面角轉化為點到平面距離來求可能柳暗花明輕松求解，此時直線與平面所成的角的正弦值等于該點到平面的距離除以該點和直線與平面交點的線段長.利用棱錐體積把“點面距離”轉化為“棱錐的高”來求，或利用向量的數量積來確定射影點來求點面距離.下面以今年高考一試題為例說明用法，以期拋磚引玉.

例 （2011年全國卷）如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.

（1）證明：SD⊥平面SAB；

（2）求AB與平面SBC所成的角的大小.

一、體積法

在三棱錐P-ABC，若三棱錐P-ABC的體積與△ABC面積可求，利用VP-ABC=VC-PAB可求出P到平面ABC的距離.

證明 （1）連接BD，由已知易算得AD=BD=5.

∴SD2+SA2=AD2，SD2+SB2=BD2，

即SD⊥SA，SD⊥SB.

從而SD⊥平面SAB.

解 （2）由（1）知SD⊥平面SAB，則

VD-SAB=13S△SAB#8226;SD=13#8226;34#8226;22×1=33.

∴VS-ABC=VS-ABD=VD-SAB=33.

設A到平面SBC的距離為h，

由于VA-SBC=VS-ABC=33，VA-SBC=13S△SBC#8226;h，

又由于SD⊥AB，AB∥CD，則

SD⊥CD，SC=SD2+CD2=2.

∴cos∠SBC=BS2+BC2-SC22BS#8226;BC=4+4-22×2×2=34.

從而有sin∠SBC=74，S△SBC=12SB#8226;BC#8226;sin∠SBC=72，

∴h=3VA-SBCS△SBC=3×33×27=2217.

設AB與平面SBC所成的角為θ，則sinθ=AHAB=217.

∴AB與平面SBC所成的角為arcsin217.

二、向量法

設該點P在平面ABC內的射影是O，設AO=mAB+nAC，則PO=PA+mAB+nAC，利用PO⊥AB，PO⊥AC，求出待定系數m，n，從而可求出點P到平面ABC的距離.

證明 （1）連接BD，由已知易算得AD=BD=5.

∴SD2+SA2=AD2，SD2+SB2=BD2，

即SD⊥SA，SD⊥SB.

從而SD⊥平面SAB.

（2）由（1）知SD⊥平面SAB，有SD⊥AB，又AB∥CD，由SD⊥CD，SC=SD2+CD2=2，

cos∠SBC=BS2+BC2-SC22BS#8226;BC=4+4-22×2×2=34，

BS#8226;BC=|BS|#8226;|BC|#8226;cos∠SBC=3，

AB#8226;BS=|AB|#8226;|BS|#8226;cos(π-∠ABS)=-2.

過點A作AH⊥平面SBC，垂足為H，設BH=mBC+nBS，則

AH=AB+BH=AB+mBC+nBS.

由AH⊥BC，AH⊥BS，則有

AH#8226;BC

=(AB+mBC+nBS)#8226;BC

=AB#8226;BC+mBC#8226;BC+nBS#8226;BC

=4m+3n=0.①

AH#8226;BS

=(AB+mBC+nBS)#8226;BS

=AB#8226;BS+mBC#8226;BS+nBS#8226;BS

=-2+3m+4n=0.②

由①②，解得m=-67，n=87.

∴AH=AB-67BC+87BS，

|AH|2=AB-67BC+87BS2

=|AB|2+3649|BC|2+6449|BS|2-127AB#8226;BC+ 167AB#8226;BS-9649BC#8226;BS

=4+3649×4+6449×4-0+167×(-2)-9649×3

=8449，

∴|AH|=2217.

設AB與平面SBC所成的角為θ，則sinθ=AHAB=217.

∴AB與平面SBC所成的角為arcsin217.