例談化歸思想在解題中的應用

【摘要】數學思想是數學的靈魂，而化歸思想是一切數學思想方法的核心，貫穿于整個高中數學教材之中.作為數學教師，我們應該挖掘教材中的化歸因素，展現思維歷程，培養學生的問題意識，從而培養學生數學思想意識，特別是化歸思想意識.

【關鍵詞】化歸思想；問題意識；思維歷程

2008～2010年江蘇省考試說明都一再強調“突出數學基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查”.這就要求我們在教學中，要注重數學思想方法的養成教育.化歸思想是一切數學思想方法的核心，在高考中占有十分重要的地位.所謂“化歸”，就是轉化和歸結.在解決數學問題時，人們常常將待解決的問題甲，通過某種轉化過程，歸結為一個已經解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解答返回去求得原問題甲的解答，這就是化歸方法的基本思想.具體地說，即未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題轉化等.

下面，我通過一個例題的解決過程來談談化歸思想的培養.

例 （2009年鹽城市第二次高三質量調研數學試卷第20題）在正項數列{an}中，令Sn=∑ni=11ai+ai+1.

(1)若{an}是首項為25，公差為2的等差數列，求S100.

(2)若Sn=npa1+an+1(p為正常數)對正整數n恒成立，求證：{an}為等差數列.

(3)給定正整數k，正實數M，對于滿足a21+a2k+1≤M的所有等差數列{an}，求T=ak+1+ak+2+…+a2k+1的最大值.

此題主要結合等差數列、不等式等基礎知識處理求函數最值的問題.其中第（3）小題綜合性強，能力要求較高，學生的答題情況并不理想，大多數同學不知道如何來解決.下面是命題者給出的參考答案：

記t=ak+1，公差為d，則T=ak+1+ak+2+…+a2k+1=(k+1)t+k(k+1)2d，則Tk+1=t+kd2，M≥a21+a2k+1=t2+(t-kd)2=410t+kd22+110(4t-3kd)2≥410t+kd22=25Tk+12，則T≤(k+1)10M2，當且僅當4t=3kd，M=25t+kd22，即ak+1=t=3M10，d=4kM10時等號成立.

說明：由答案可以求出a1=-M10，這與數列{an}為正項數列相矛盾.故第三小問中應加上條件“在等差數列{an}中”.此解答運用了放縮的思想方法，技巧性較強，學生難于理解與掌握.在試卷講評時，我思索良久，此解答中把ak+1，d看作變量，能否把a1，ak+1看作變量呢？想到了化歸思想.于是，在課堂上師生合作，得到了下面的解法.

師：我們在解決數學問題時常常用到化歸思想.化歸的原則是什么呢？

生：熟悉化原則、簡單化原則、直觀化原則.

師：由此題中的條件a21+a2k+1≤M能聯想到什么？

生：（思考良久，欲言又止.）

師：若將a1=x，ak+1=y條件變為x2+y2≤M(M>0)，此時有什么想法？

生：（興奮異常）圓的方程！不，圓的內部！

師：能不能更準確呢？

生：以原點為圓心，M為半徑的圓周以及內部.

師：以前我們遇到這樣的條件，通常選用什么方法處理呢？

生：（思考后，眾說紛紜）三角換元！線性規劃……

師:要求的結論又變成了什么呢？注意用x，y來表達.

生：因為{an}為等差數列，則結論變為求T=(k+1)(ak+1+a2k+1)2=(k+1)(3ak+1-a1)2=(k+1)(3y-x)2的最大值.

師：下面大家分別用線性規劃的知識與三角函數知識來解此題.

（把學生分為兩組，一組用線性規劃的知識，另一組用三角函數知識.讓每組的學生綜合整理后，得到了如下的解法一、解法二.）

解法一 (用線性規劃的知識解決)問題變為已知x2+y2≤M(M>0)，y=x3+2T3(k+1)，求T的最大值.作出可行域如圖陰影部分，則求T的最大值就轉化為求直線y=x3+z縱截距的最大值.

由圖可知，當直線y=x3+z與圓x2+y2=M相切時，縱截距分別取得最大、最小值.可以求出zmax=10M3，所以Tmax=(k+1)10M2，此時x=-M10，y=3M10.

解法二 （用三角換元法解決）因為x2+y2≤M(M>0)，可以設x=Mcosθ，y=Msinθ，此時T=(k+1)(3y-x)2=(k+1)M(3sinθ-cosθ）2=10M(k+1)sin(θ-φ)2(其中tanφ=13)，所以當sin(θ-φ)=1時，T取最大值且Tmax=(k+1)10M2.

師：由以上的分析我們知道要求T=(k+1)(ak+1+a2k+1)2=(k+1)(3ak+1-a1)2的最大值，只要求3ak+1-a1的最大值，即求3×ak+1+(-1)×a1的最大值.

本題主要考查了化歸思想，本題的解答靈活地運用相關的知識技能，將原問題等價轉化為自己所熟知的問題加以解決.在本題的解決過程中，由于用化歸思想駕馭了教學內容，給學生創造了一個發揮自己思維水平的氛圍和參與教學的機會.因而學生發言踴躍，思維開闊，注意力集中，從而達到了集思廣益的教學目的，并且拓寬了解題思路，培養了學生分析問題和解決問題的能力.