淺談如何求解遞推數(shù)列通項(xiàng)

【摘要】可以遞推找出規(guī)律的數(shù)列就是遞推數(shù)列，找出這個(gè)規(guī)律的通項(xiàng)式就是遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式.本文主要研究近幾年高考中出現(xiàn)的幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法.

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考的重點(diǎn)，而求數(shù)列的遞推公式則是近幾年高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，本文歸納幾種常見的遞推數(shù)列的解法，以試圖找出它們的一些性質(zhì).首先，我們要先明確遞推公式的定義：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與它前一項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式了叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.而用遞推公式表示的數(shù)列就叫做遞推數(shù)列.

一、an+1=a#8226;an+b型

當(dāng)a=1時(shí)，可知an+1=an+b是公差為b的等差數(shù)列；

當(dāng)a≠1時(shí)，令an+1+A=a(an+A)an+1=a#8226;an+aA-A，∴aA-A=bA=ba-1，可令bn=an+Abn+1=abn.

例1 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0，1)，an=3-an-12，n=2，3，4，…

（1）求{an}的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)bn=an3-2an，證明bn

解析 （1）由an=3-an-12，n=2，3，4，…整理得1-an=-12(1-an-1).

∵1-a1≠0，所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1，公比為-12的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)-12n-1.

（2）由（1）可得00，則b2n+1-b2n=a2n+1(3-2an+1)-a2n#8226;(3-2an)=3-an22#8226;3-2×3-an2-a2n(3-2an)=9an4(an-1)2.

又由（1）知an>0且an≠1，故b2n+1-b2n>0，因此bn

點(diǎn)評(píng) 這種類型的遞推關(guān)系在高考中是比較常見的，應(yīng)屬于常規(guī)題.

二、an+1=a#8226;an+f(n)型

例2 在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.

（1）證明數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列.

（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

（3）證明不等式Sn+1≤4Sn對(duì)任意n∈N*都成立.

解析 （1）由題設(shè)an+1=4an-3n+1，得an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.

又a1-1=1，∴數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列.

（2）由（1）可知an-n=4n-1，于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-1+n，所以，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=4n-13+n(n+1)2.

（3）對(duì)任意的n∈N*，Sn+1-4Sn=4n+1-13+(n+1)(n+2)2-44n-13+n(n+1)2=-12(3n2+n-4)≤0，所以不等式Sn+1≤4Sn，對(duì)任意n∈N*都成立.

點(diǎn)評(píng) 此類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為類型一解決.

三、an+1=a#8226;an+b#8226;an-1型

一般利用設(shè)an+1+Aan=B(an+Aan-1)，則an+1=(B-A)an+BAan-1，∴B-A=a，BA=b來(lái)解決問(wèn)題.

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*).

（1）證明：數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列.

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（3）若數(shù)列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列.

解析 本題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力.

（1）∵an+2=3an+1-2an，∴an+2-an+1=2(an+1-an).

∵a1=1，a2=3，∴an+2-an+1an+1-an=2(n∈N*)，

∴{an+1-an}是以a2-a1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1），得an+1-an=2n(n∈N*)，

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*).

（3）∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，

∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn，

∴2［(b1+b2+…+bn)-n］=nbn，①

2［(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)］=(n+1)bn+1.②

用②-①，得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，

即(n-1)bn+1-nbn+2=0，③

nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.④

用④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，

即bn+2-2bn+1+bn=0，

∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，∴{bn}是等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng) 這屬于三重遞推關(guān)系，也可利用上面的公式求得.

求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的思維方向是轉(zhuǎn)化與化歸，這樣處理問(wèn)題的目的是為了化未知為已知，使用我們熟悉的等差數(shù)列和等比數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題是理所當(dāng)然的.根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，可以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.