數(shù)學(xué)教學(xué)中不定積分概念的辨析

【摘要】本文旨在澄清一個(gè)數(shù)學(xué)概念，即“不定積分”是一個(gè)不確定的個(gè)體函數(shù)，不是群體函數(shù).

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；一元微積分；不定積分；概念

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)一元微積分的內(nèi)容時(shí)，面對各種版本的數(shù)學(xué)教材，關(guān)于“不定積分”這個(gè)數(shù)學(xué)概念的解釋，讓人感到困惑.各種教材對不定積分的解釋大致分為兩類.第一類觀點(diǎn)認(rèn)為：不定積分是一個(gè)不確定的個(gè)體函數(shù)，是一個(gè)其導(dǎo)數(shù)都相同的、一族函數(shù)的代表.第二種觀點(diǎn)則認(rèn)為：不定積分是具有相同導(dǎo)數(shù)的一群函數(shù)，是一個(gè)函數(shù)集合.本人贊同第一類觀點(diǎn)，目前持這種觀點(diǎn)的高等數(shù)學(xué)教材僅占少數(shù)，而多數(shù)教材則持有第二種觀點(diǎn).

一、各種教材對不定積分的解釋

（一）“不定積分是一個(gè)不確定的個(gè)體函數(shù)”的觀點(diǎn)

有一類觀點(diǎn)認(rèn)為：不定積分是一個(gè)不確定的個(gè)體函數(shù)，是一個(gè)其導(dǎo)數(shù)都相同的、一族函數(shù)的代表.這種觀點(diǎn)體現(xiàn)在下列各教材中：

如，1988年4月高等教育出版社出版的同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編的《高等數(shù)學(xué)》（第三版）上冊第231面“定義2 在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)（或f(x)dx）在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，記作∫f(x)dx.不定積分∫f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)”.

定義 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx.

又如，2005年4月高等教育出版社出版的常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院馮寧主編的《高等數(shù)學(xué)》第86面“……任一原函數(shù)都可表達(dá)為F(x)+C的形式，即原函數(shù)的全體由形如F(x)+C的函數(shù)組成（C為任意常數(shù)）”.

定義2 若F(x)是f(x)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C（C為任意常數(shù)）稱為f(x)在該區(qū)間內(nèi)的不定積分，記作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C.

再如，2008年6月國防科技大學(xué)出版社出版的鄭桂梅主編的《高等數(shù)學(xué)》第102面“……定義2 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的一般表達(dá)形式F(x)+C的形式稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

（二）“不定積分是具有相同導(dǎo)數(shù)的一群函數(shù)”的觀點(diǎn)

對于不定積分解釋的另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為：不定積分是一群函數(shù)，是具有相同導(dǎo)數(shù)的一群函數(shù)，是一個(gè)函數(shù)集合.在相當(dāng)多的數(shù)學(xué)教材中對不定積分持有該種觀點(diǎn).現(xiàn)列舉如下.

1978年5月人民教育出版社再次印刷出版的、樊映川等編寫的第二版《高等數(shù)學(xué)講義》（上冊）第328面（第七章）不定積分的定義“函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的全體叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

1980年10月遼寧人民出版社出版的、［日］田島一郎、渡部隆一、宮崎浩（編）著的第一版《微分 積分》第三章（第101面）“f(x)的原函數(shù)的全體的集合叫做f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

1988年5月高等教育出版社出版的、李志熙等編寫的第一版《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 微積分》第五章（第156面）“定義5.2 函數(shù)f(x)的全部原函數(shù)叫做f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

1990年4月南京大學(xué)出版社出版的、許紹溥等編寫的《數(shù)學(xué)分析教程》（上冊）第6章（第277面）“f(x)的全體原函數(shù)稱為它的不定積分，記為∫f(x)dx”.

1991年10月復(fù)旦大學(xué)出版社出版的、歐陽光中、姚允龍編寫的《數(shù)學(xué)分析》（上冊）第九章（第222面）不定積分的定義“定義2 f的原函數(shù)全體F+C，記為∫f(x)dx”.

1993年1月藍(lán)天出版社出版的、高等專科學(xué)校金融類教材《微積分》第五章（第163面）“定義5.2 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

1994年10月高等教育出版社出版的、劉玉璉主編的第二版《數(shù)學(xué)分析》（上冊）第七章（第280面）“定義2 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I存在原函數(shù)F(x)，則所有原函數(shù)F(x)+C，C∈R，稱為函數(shù)f(x)的不定積分，表為∫f(x)dx=F(x)+C（C∈R）”.

2003年1月對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社出版的、董璽印等編著的“211工程”系列教材（第二版）《微積分》第三章（第185面）“定義3.2 如果已知函數(shù)f(x)在某區(qū)間D上存在原函數(shù)，則稱f(x)在區(qū)間D上的所有原函數(shù)為f(x)在區(qū)間D上的不定積分，記做∫f(x)dx(x∈D)…….在理解這一定義時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：第一，不定積分是被積函數(shù)的所有原函數(shù).因此是個(gè)集合概念……”.

2005年4月高等教育出版社出版的、曾文斗主編的新世紀(jì)高等職業(yè)教育文化基礎(chǔ)課程教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》（少學(xué)時(shí)）第五章（第85面）“定義5.3 函數(shù)f(x)的全部原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2005年11月高等教育出版社出版的（第9次印刷）、面向21世紀(jì)課程教材《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》（第84面）“定義2 f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在I上的不定積分，記為∫f(x)dx”.

2006年7月西南師范大學(xué)出版社出版的、全國高職計(jì)算機(jī)專業(yè)教材《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》（第58面）“定義4.2 如果函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則稱f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C”.

2007年6月中國鐵道出版社出版的、張錦麟、時(shí)曉文主編的（高職高專“十一五”規(guī)劃教材）《高等數(shù)學(xué)》（第86面）“定義2 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)的集合稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

2007年6月機(jī)械工業(yè)出版社出版的，普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材、高職高專公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（第94面）“定義2 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的全部原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C”.

2008年4月機(jī)械工業(yè)出版社出版的、方曉華主編的普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材《高等數(shù)學(xué)》（理工科用）（第二版）（第64面）“定義2 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C叫做f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2008年6月化學(xué)工業(yè)出版社出版的、曹瑞成、姜海勤主編的（高職高專“十一五”規(guī)劃教材）《高等數(shù)學(xué)》（第90面）“定義4.2 設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間I上的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2008年4月北京交通大學(xué)出版社出版的、趙紅革、顏勇主編的《高等數(shù)學(xué)》（第95面）“定義4.2 設(shè)函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2010年8月國防工業(yè)出版社出版的、丁匡平主編的《應(yīng)用高等數(shù)學(xué)》（第75面）“定義2 函數(shù)f(x)在某區(qū)間I內(nèi)的全部原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，記作∫f(x)dx=F(x)+C”.

二、本人持有的觀點(diǎn)及其論述

對于上述兩類觀點(diǎn)，本人贊同“不定積分是一個(gè)不確定的個(gè)體函數(shù)，是一個(gè)其導(dǎo)數(shù)都相同的、一族函數(shù)的代表”的觀點(diǎn).本人認(rèn)為：在某區(qū)間I上，若導(dǎo)數(shù)F′(x)=f(x)，取C為任意實(shí)數(shù)，則原函數(shù)F(x)與不定積分∫f(x)dx（=F(x)+C）在區(qū)間I上都是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù)F(x)與不定積分∫f(x)dx（=F(x)+C）的關(guān)系不是個(gè)體與群體（全體）的關(guān)系，而是兩者都是個(gè)體.原函數(shù)F(x)是一個(gè)確定的個(gè)體函數(shù)，而由于任意實(shí)數(shù)C的不確定性，不定積分F(x)+C則是一個(gè)不確定的個(gè)體函數(shù).

高等數(shù)學(xué)作為向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識的一門重要的基礎(chǔ)課程，而不定積分作為微積分學(xué)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，在高等數(shù)學(xué)的教材中，尤其是在一些國家級規(guī)劃數(shù)學(xué)教材中，對不定積分更應(yīng)該強(qiáng)化其數(shù)學(xué)概念上的精準(zhǔn)性和嚴(yán)密性.數(shù)學(xué)界對不定積分應(yīng)有一個(gè)統(tǒng)一和正確的定義和解釋.

【參考文獻(xiàn)】

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［11］趙紅革，顏勇.高等數(shù)學(xué)［M］.北京交通大學(xué)出版社，2008:95.

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