與圓錐曲線切線有關(guān)的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)

文獻(xiàn)介紹了圓錐曲線的通徑端點(diǎn)處切線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì).受其啟發(fā)，筆者發(fā)現(xiàn)這個(gè)性質(zhì)可以推廣到更一般的情形，現(xiàn)介紹如下.

性質(zhì)1 如圖1，已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，焦點(diǎn)F2相應(yīng)準(zhǔn)線為l，橢圓在點(diǎn)P(非左、右頂點(diǎn))處的切線交l于點(diǎn)R，則：(1)F2R⊥F2P;(2)PR為∠F1PF2的外角平分線.

證明 (1)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)，則橢圓在點(diǎn)P處切線方程為x0xa2+y0yb2=1，令x=a2c，得點(diǎn)Ra2c，b2y01-x0c.

又 F1(c，0)，F(xiàn)2(-c，0)，

∴F2R=b2c，b2y0-b2x0cy0，F(xiàn)2P=(x0-c，y0)，

∴F2P#8226;F2R=(x0-c)b2c+y0#8226;b2y01-x0c=0，

即F2R⊥F2P.

(2)當(dāng)x0=0時(shí)，點(diǎn)P為橢圓的上(下)頂點(diǎn)，切線PR∥x軸，顯然PR為∠F1PF2的外角平分線.

當(dāng)x0≠0時(shí)，設(shè)切線PR交x軸于點(diǎn)Q，由切線PR方程x0xa2+y0yb2=1易知點(diǎn)Q坐標(biāo)為a2x0，0，

∴|F1Q||F2Q|=|a2+x0c||a2-x0c|=|a+ex0||a-ex0|.

又由焦半徑公式，易知|F1P||F2P|=|a+ex0||a-ex0|，

∴|F1P||F2P|=|F1Q||F2Q|，即PR為∠F1PF2的外角平分線.

性質(zhì)2 如圖2，已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，焦點(diǎn)F2相應(yīng)準(zhǔn)線為l，雙曲線在點(diǎn)P(非左、右頂點(diǎn))處的切線交l于點(diǎn)R，則：(1)F2R⊥F2P;(2)PR為∠F1PF2的平分線.

性質(zhì)2類似于性質(zhì)1可證，此處從略.

性質(zhì)3 如圖3，已知拋物線y2=2px(p>0)，O，F(xiàn)分別是拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線，拋物線在點(diǎn)P(非頂點(diǎn))處的切線交l于點(diǎn)R，過點(diǎn)P且平行于x軸的直線交l于點(diǎn)Q，則：(1)FR⊥FP;(2)PR為∠FPQ的平分線.

性質(zhì)3中(1)類似于性質(zhì)1可證，此處從略.其中（2）由拋物線定義也易證，請讀者自己完成.

由上面的討論，我們可歸納出如下結(jié)論:

定理1 一般地，圓錐曲線C的焦點(diǎn)F相應(yīng)準(zhǔn)線為l，若曲線C上點(diǎn)P處切線交l于點(diǎn)R，則FP⊥FR.

定理1的逆命題也成立，如下：

定理2 一般地，圓錐曲線C的焦點(diǎn)F相應(yīng)準(zhǔn)線為l，若過焦點(diǎn)F且互相垂直的兩直線FP，F(xiàn)R分別交曲線C、準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，R，則PR為曲線C在P點(diǎn)處的切線.

下面以橢圓為例予以證明.

證明 如圖4，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)(y1≠0)，Ra2c，yR，

∴FR=b2c，yR，F(xiàn)P=(x1-c，y1).

由FP⊥FR，∴(x1-c)b2c+y1yR=0，

得yR=b2cy1(c-x1)，也即Ra2c，b2cy1(c-x1).

又橢圓在點(diǎn)P處的切線方程為x1xa2+y1yb2=1，

令x=a2c，得y=b2cy1(c-x1).

顯然，橢圓在點(diǎn)P的切線經(jīng)過點(diǎn)R，也即PR為橢圓在點(diǎn)P處的切線.

雙曲線、拋物線情況類似，請讀者自己推證.

【參考文獻(xiàn)】

林麗.由一道調(diào)考題的解法所引起的探究.數(shù)學(xué)通訊，2010（6）.