聚焦經典解題法——換元法

【摘要】換元法是中學數學解題中的一種經典方法，它是把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化的一種解題方法.它的應用也十分廣泛，不少問題可通過此方法化難為易、化繁為簡從而迎刃而解.本文探討應用換元法解題的規律和典型性，從而達到輕松應用換元法解題的目的.

【關鍵詞】換元法；三角函數；均值換元；整體

1.換元法經典之一“三角換元”

應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元.如求函數y=x+1-x的值域時，易發現x∈［0，1］，設x=sinθ，θ∈0，π2，問題變成了熟悉的求三角函數值域.為什么會想到如此設呢？其中主要應該是發現值域的聯系，又有去根號的需要.因此當變量x，y適合條件x2+y2=r(r>0)時，則可作三角代換x=rcosθ，y=rsinθ，化為三角問題.

例1 實數x，y滿足2x2-xy+2y2=4（①式），設S=x2+y2，求1Smax+1Smin的值.

分析 由S=x2+y2聯想到sin2θ+cos2θ=1，于是進行三角換元，設x=Scosθ，y=Ssinθ，代入①式，求Smax和Smin的值.

解 設x=Scosθ，y=Ssinθ，代入①式，

得2S-Ssinxcosx=4，解得S=84-sin2x.

∵-1≤sin2α≤1，

∴3≤4-sin2x≤5，∴83≤84-sin2x≤85，

∴1Smax+1Smin=38+58=1.

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2θ=4S-8S的有界性而求，即解不等式4S-8S≤1.這種方法是求函數值域時經常用到的“有界法”.

注 此題解法屬于“三角換元法”，是利用已知條件S=x2+y2與三角公式sin2θ+cos2θ=1的聯系而聯想和發現用三角換元，將代數問題轉化為三角函數值域問題.

2.換元法經典之二“均值換元”

如遇到x+y=S形式時，設x=S2+t，y=S2-t，等等.

例1另解 由S=x2+y2，設x2=S2+t，y2=S2-t，t∈-S2，S2.

則xy=±S24-t2，代入①式，得2S±S24-t2=4.

移項平方整理，得4t2+15S2-64S+64=0.

∴15S2-64S+64≤0，解得85≤S≤83.

∴1Smax+1Smin=58+38=1.

第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值換元的思路，設x2=S2+t，y2=S2-t，減少了元的個數，且容易求解.另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質法、分離參數法.

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x，y時，可以設x=a+b，y=a-b，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數式.本題設x=a+b，y=a-b，代入①式，整理得3a2+5b2=4，求得a2∈0，43，所以S=(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2)，再求1Smax+1Smin的值.

3.換元法經典之三“整體換元”

又稱局部換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現.例如，解不等式4x+2x-2≥0，先變形，設2x=t(t>0)，而變為熟悉的一元二次不等式求解和指數方程的問題.

例2 設a>0，求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinxcosx-2a2的最大值和最小值.

解 設sinx+cosx=t，則t∈［-2，2］，

由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx，得sinxcosx=t2-12，

∴f(x)=g(t)=-12(t-2a)2+12，t=-2時，取最小值：-2a2-22a-12.

當2a≥2時，t=2，取最大值：-2a2-22a-12；

當0<2a≤2時，t=2a，取最大值：12.

∴f(x)的最小值為-2a2-22a-12，最大值為120

注 此題屬于局部換元法，設sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx#8226;cosx的內在聯系，將三角函數的值域問題轉化為二次函數在閉區間上的值域問題，使得容易求解.換元過程中一定要注意新的參數的范圍t∈［-2，2］與sinx+cosx對應，否則將會出錯.本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數學思想方法，即由對稱軸與閉區間的位置關系而確定參數，分兩種情況進行討論.

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數為f(sinx±cosx，sinxcosx)，經常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區間上的二次函數或一次函數來研究.

例3 設對所于有實數x，不等式x2log24(a+1)a+2xlog22aa+1+log2(a+1)24a2>0恒成立，求a的取值范圍.

分析 不等式中log24(a+1)a，log22aa+1，log2(a+1)24a2三項有何聯系，進行對數式的有關變形后不難發現，再實施換元法.

解 設log22aa+1=t，則

log24(a+1)a=log28(a+1)2a=3+log2a+12a

=3-log22aa+1=3-t.

log2(a+1)24a2=2log2a+12a=-2t.

代入后原不等式簡化為(3-t)x2+2xt-2t>0，它對一切實數x恒成立，所以3-t>0，Δ=4t2+8t(3-t)<0，解得t<3，t<0或t>6.

∴t<0，即log22aa+1<0，0<2aa+1<1，解得0

注 應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用.為什么會想到換元及如何設元？關鍵是發現已知不等式中log24(a+1)a，log22aa+1，log2(a+1)24a2三項之間的聯系.在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”.

另外，本題還要求對數運算十分熟練.一般地，解指數與對數的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發現它們的聯系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點.

換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理.我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大.

【參考文獻】

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