由一道三角函數(shù)考題引起的思考

【摘要】借助高考試題引出，并強(qiáng)調(diào)說明利用三角恒等變形解題時(shí)具有極強(qiáng)的技巧性是可以遵循的，活用之，可以優(yōu)化解題思路，提升解題技能.

【關(guān)鍵詞】加減變形；換元轉(zhuǎn)化

本文擬以2011年高考數(shù)學(xué)江蘇卷（理科）第7題為切入點(diǎn)，具體說明：分析、求解有關(guān)三角函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常用到的兩種解題技巧.

一、賞析：考題之解法薈萃

已知tanx+π4=2，則tanxtan2x的值為.

方法一 （側(cè)重“加減”變形）∵tanx+π4=2，

∴tanx=tanx+π4-π4

=tanx+π4-tanπ41+tanx+π4tanπ4=2-11+2×1=13，

tan2x=tan2x+π4-π2=-tanπ2-2x+π4

=-cot2x+π4=-1-tan2x+π42tanx+π4

=-1-222×2=34，

故所求tanxtan2x=1334=49.

方法二 （側(cè)重“換元”轉(zhuǎn)化）令x+π4=α，

則x=α-π4，tanα=2.于是，

tanx=tanα-π4=tanα-tanπ41+tanαtanπ4s=2-11+2×1=13，

tan2x=tan2α-π4=tan2α-π2=-tanπ2-2α

=-cot2α=-1-tan2α2tanα=-1-222×2=34.

故所求tanxtan2x=1334=49.

二、揭示：常用解題技巧

1.“加減”變形

有意識地考慮“角”與“角”之間的“加減”聯(lián)系，往往可為利用和差角公式及題設(shè)條件創(chuàng)造有利條件.常見的有2α=(α+β)+(α-β)，2α+β=(α+β)+α，β=α-(α-β)等.

2.“換元”轉(zhuǎn)化

處理有關(guān)三角函數(shù)問題時(shí)，有時(shí)需要將表示“角”的代數(shù)式看作一個(gè)整體，通過換元的形式，有利于進(jìn)一步分析、解決問題.

三、體驗(yàn)：技巧之活用

以下通過歸類舉例的形式，進(jìn)一步具體說明以上兩種常用解題技巧在解題中的靈活運(yùn)用.

1.體驗(yàn)：“加減”變形之活用

例1 已知sin(2α+β)=3sinβ，設(shè)tanα=x，tanβ=y，并記y=f(x)，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.

解析 ∵sin(2α+β)

=3sinβsin［(α+β)+α］

=3sin［(α+β)-a］

sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα

2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα

2tanα=tan(α+β)，

∴tanβ=tan［(α+β)-α］=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα

=tanα1+2tan2α.

又 ∵tanα=x，tanβ=y，故所求y=f(x)=x1+2x2.

評注 本題求解的關(guān)鍵在于兩次對角β進(jìn)行了變形：β=(α+β)-α.

2.體驗(yàn)：“換元”轉(zhuǎn)化之活用

例2 已知cosπ4+x=35，17π12

解析 令π4+x=α，則cosα=35.

又 易知5π3<α<2π，從而sinα=-45.

于是，cosx=cosα-π4=22(cosα+sinα)

=2235-45=-210.

∴由17π12

∴tanx=sinxcosx=7，sin2x=2sinxcosx=725.

故原式=7.25+2#8226;-721021-7=-2875.

評注 本題若按常規(guī)思路分析，則往往讓人感到“山重水復(fù)疑無路”.此時(shí)，如果我們能夠改變思考問題的方式、方法，通過運(yùn)用“換元”技巧，將題設(shè)及所求式的表達(dá)形式加以適當(dāng)改變，則往往有利于問題的進(jìn)一步分析、思考，讓人頓感“柳暗花明又一村”！