例談數形結合的應用

【摘要】枯燥單調的數，自從與圖形結合后，就有了飛翔的翅膀.

【關鍵詞】數形結合；基本數學思想；數學思維活動

數與形是數學中的兩個最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”這里一語成偈，道出了“數”和“形”不可分割的特點.

數形結合思想是中學階段的基本數學思想之一.所謂數形結合主要是指數與形之間的對應關系，把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”的方法，使復雜問題簡單化，使抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.

數形結合有兩種基本形式，一是“形”的問題轉化為用數量關系去解決，運用代數、三角知識進行討論，它往往把技巧性極強的推理論證轉化為可具體操作的代數運算，很好地起到化難為易的作用，在解析幾何（是以數形結合思想為核心思想的數學學科）中就常常利用數量關系去解決圖形問題.二是“數”的問題轉化為形狀的性質去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受.數形結合在解題過程中應用十分廣泛，如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域和最值問題中，在求數列、線性規劃中，在求復數和三角函數問題中都有體現.運用數形結合思想解題，不僅直觀，易于尋找解題途徑，而且能避免復雜的計算和推理，優化解題過程.下面就數形結合思想在學習中的應用作一個簡單的分析.

中學數學教學中處處滲透著基本數學思想.如果能使它落實到學生和運用數學思維活動，它就能在發展學生的數學能力方面發揮出一種方法論的功能.在這些數學思想方法中數形結合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個中學數學的教學課程，本文對數形結合思想在數學教學中的應用談談一些自己的看法.

一、以“形”解決“數”的問題

例1 已知Sn是等差數列｛an｝的前n項和，且Sp=Sq（p≠q），求Sp+q.

解 ∵Sn=na1+n(n+1)2d=d2n2+a-d2n，

由題設知d≠0，

∴Sn是關于n的缺常數項的二次函數，其圖像是過原點的拋物線上的點構成的，如圖所示拋物線對稱軸方程為x=p+q2，故Sp+q=0.

說明 數列的通項公式及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數，因此，有關數列問題可以轉化函數問題來解決.

例2 已知M(x，y)是圓x2+y2=1上的任意一點，則yx+2的取值范圍是().

A.-33，33

B.［-3，3］

C.-∞，-33∪33，+∞

D.(-∞，-3］∪［3，+∞)

解 將yx+2看成動點M（x，y）和定點N（－2，0）這兩點直線的斜率，則問題轉化為直線MN斜率的取值范圍，故選A.傾斜角0°≤α≤30°或150°≤α＜180°.

說明 賦予了yx+2幾何意義，使看似不好解決的問題得以解決.

二、以“數”解決“形”的問題

例3 設在△ABC中，AB＞AC，CF，BE分別是AB及AC邊上的高，試證AB+CF≥AC+BE，并指出等號何時成立.

解 ∵AC#8226;BE＝AB#8226;CF，

即BEAB＝CFAC＝sinA.

則BE=ABsinA，CF=ACsinA，

BE-CF=(AB-AC)sinA.

又 ∵AB-AC＞0，

即AB+CF≥AC+BE，0＜sinA≤1.

(當A=90°時，取等號)

說明 把問題中的幾何關系代數化，比較純幾何證法要易于想到.

【參考文獻】

樊愷.數學解題方法論（第一版）.杭州：杭州大學出版社，1991.