不等式的單變量和雙變量的存在性問題的理解和處理

【摘要】在平時的數學學習和高考中，我們經常會遇到不等式的單變量和雙變量的存在性問題，學生由于對這類問題理解不清，很容易和不等式的恒成立問題混淆，面對這類問題總是感到很棘手，或在解題中出現知識性錯誤，我們通過下面的例題談談這類問題的理解和處理.

【關鍵詞】單變量；雙變量；存在性

一、不等式的單變量存在性問題

我們把“存在x∈(a，b)，使得f(x)>0成立”這種類型問題稱為不等式的單變量的存在性問題.存在x∈(a，b)，使得f(x)>0成立，即函數f(x)在區間(a，b)內至少有一個函數值f(x)>0.它的幾何解釋見下面的圖1，所以存在x∈(a，b)，使得f(x)>0成立，即f(x)max>0.

“存在x∈(a，b)，使得f(x)<0成立”，即函數f(x)在區間(a，b)內至少有一個函數值f(x)<0.它的幾何解釋見下面的圖2，所以存在x∈(a，b)，使得f(x)<0成立，即f(x)min<0.

例 設f(x)=ax3+bx2+cx的極小值為-8，其導函數y=f′(x)的圖像經過點(-2，0)，23，0，如圖3所示.

（1）求f(x)的解析式.

（2）若存在x∈［-3，3］，使得f(x)≤m2-14m成立，求實數m的取值范圍.

解 （1）∵f′(x)=3ax2+2bx+c，且y=f′(x)的圖像經過點(-2，0)，23，0，

∴-2+23=-2b3a-2×23=c3ab=2a，c=-4a，

∴f(x)=ax3+2ax2-4ax.

由圖像可知函數y=f(x)在(-∞，-2)上單調遞減，在-2，23上單調遞增，在23，+∞上單調遞減.

由f(x)極小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8，解得a=-1.

∴f(x)=-x3-2x2+4x.

（2）存在x∈［-3，3］，使得f(x)≤m2-14m成立，只需f(x)min≤m2-14m即可.

由（1）可知函數y=f(x)在(-3，-2)上單調遞減，在-2，23上單調遞增，在23，3上單調遞減，且f(-2)=-8，f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8，

∴f(x)min=f(3)=-33≤m2-14m.

故所求的實數m的取值范圍為m≥11或m≤3.

二、不等式的雙變量存在性問題

我們把“存在x1∈(a，b)，對任意的x2∈(c，d)，使得f(x1)

“存在x1∈(a，b)，對任意的x2∈(c，d)，使得f(x1)>g(x2)成立”，即f(x)在區間(a，b)內至少有一個值f(x)比函數g(x)在區間(c，d)內的任意一個函數值都要大.它的幾何解釋見下面的圖5，所以存在x1∈(a，b)，對任意的x2∈(c，d)，使得f(x1)>g(x2)成立，即f(x)max>g(x)max.

我們把“存在x1∈(a，b)，存在x2∈(c，d)，使得f(x1)

“存在x1∈(a，b)，存在x2∈(c，d)，使得f(x1)>g(x2)成立”，即在區間(a，b)內至少有一個值f(x)比函數g(x)在區間(c，d)內的一個函數值大.它的幾何解釋見下面的圖7，所以存在x1∈(a，b)，存在x2∈(c，d)，使得f(x1)>g(x2)成立，即f(x)max>g(x)min.