淺談直線方程求解方法

直線是解析幾何的基礎，本節的內容、方法、思維方式將會滲透到解析幾何的各個部分內容，將會對以后的學習產生重大的影響，因此，必須重視基礎知識、基本方法的學習和掌握.

求直線的方程是該部分內容的重點之一，根據所給的條件不同，求直線方程的方法也各不相同，要善于歸納、總結求直線方程的各種方法，本文介紹四種求直線方程的方法.

一、公式法

公式法：由已知直線滿足的條件，選擇恰當的公式來解決直線方程的方法.

解題中常用的公式法總結如下：

1.點斜式——已知直線l過一點P1(x1，y1)，且斜率為k，則直線l的方程y-y1=k(x-x1).

2.斜截式——已知直線l的斜率為k，與y軸的交點是P(0，b)，則直線l的方程為y=kx+b.

3.兩點式——已知直線經過的兩點P1(x1y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，則直線l的方程為y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1).

4.截距式——已知直線l與x軸的交點為(a，0)，與y軸的交點為(0，b)，其中a≠0，b≠0，則直線l的方程為xa+yb=1.

例 過點P（2，1）作直線l交x軸、y軸正方向于A，B，求使△AOB的面積最小時的直線l的方程.

解 設所求直線方程為xa+yb=1，

則由直線l過點P（2，1），得

2a+1b=1(a>0，b>0)，即b=aa-2.

由b>0，得a>2.

∴S△AOB=12ab=12a#8226;aa-2

=a22(a-2)=12#8226;a2-4+4a-2

=12a+2+4a-2

=12(a-2)+4a-2+4

≥1224a-2#8226;(a-2)+4=4，

當且僅當a-2=4a-2，即a=4，b=2時，S△AOB取得最小值，最小值為4.

此時所求直線方程為x4+y2=1，即x+2y-4=0.

二、直線系法

一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含變量x，y以外，還有可以根據具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數.直線系法，就是根據已知條件，先寫出一個滿足條件的直線系方程，再根據題目中其他條件，找出所設參數所滿足的方程，從而解出參數的值，代回直線系方程即得所求直線方程的方法.

幾種常見的直線系：

1.過定點的直線系

（1）直線y=kx+b（其中k為參數，b為常數）

它表示過定點(0，b)的直線系，但不包括y軸.

（2）經定點M(x0，y0)的直線系y-y0=k(x-x0)（k為參數）

它表示經過定點(x0，y0)的直線系，但不包括垂直于x軸的那一條.

2.已知斜率的直線系

（1）直線y=kx+b（其中k為常數，b為參數），它表示斜率為k的平行直線系.

（2）若已知直線l：Ax+By+C=0，與l平行的直線系方程為Ax+By+m=0（m為參數，且m≠C）.

（3）若已知直線l：Ax+By+C=0，與l垂直的直線系方程為Bx-Ay+n=0（n為參數）.

3.經過兩條直線交點的直線系

（1）經過兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0(A21+B21≠0）與l2：A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交點的直線系為m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0（其中m，n為參數，m2+n2≠0）.

（2）上面的直線系可以改寫成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0（其中λ為實數），但是，方程中不包括直線l2，此形式在解題中較常用.

三、向量法

在解析幾何的解題過程中，向量以其數形結合的特點成為解決問題的強有力的工具.

直線Ax+By+C=0的法向量是n=(A，B)，方向向量是v=(B，-A)或(-B，A).利用法向量或方向向量可以將直線方程中的有關問題用向量來解決，從而簡化運算.

總結向量求直線方程如下：

(1)如果直線l經過點P0(x0，y0)，其方向向量是v=(a，b)，其中ab≠0，P(x，y)是直線l上任一點，P0P=(x-x0，y-y0)，則P0P∥v，從而得到直線的點向式方程是x-x0a=y-y0b.

（2）若直線l經過點P0(x0，y0)，其法向量是n=(a，b)，P(x，y)是直線l上任一點，P0P=(x-x0，y-y0)，則P0P⊥n，從而得到直線的點向式方程是a(x-x0)+b(y-y0)=0.

四、相關點法

利用相關點法求直線的方程，實質上是軌跡法.這種方法主要應用在有關中心對稱或軸對稱問題中，其主要步驟：①在所求的直線上任選一點M(x，y)；②求出這一點關于中心或軸的對稱點M(x0，y0)與M(x，y)之間的關系；③將(x0，y0)代入已知直線的方程，得出所求直線的方程.