求遞推數列通項的探索性學習

摘要：數學教學應重視充分展現數學的思維過程，即提示數學知識的形成和發展過程。這樣才有利于認知結構的形成和發展，有利于學生思維品質的提高。近年來的高考試題中，有關遞推數列的題頻繁出現，很多教師對給出初始條件及遞推關系式求數列的通項的問題講了很多，講解類型也很多。

關鍵詞：數學；遞推數列；探索性學習

隨著高中數學課程標準的深入實施，數學教學一些新做法不斷涌現。我們有理由對一些傳統的做法提出反思。

近年來的高考試題中，有關遞推數列的題頻繁出現。很多教師對給出初始條件及遞推關系式求數列的通項的問題講了很多，還分各種類型講解。比如：（1）形如an+1=pan+q（p≠1）型的遞推式，可化為an+1-r=p（an-r）（p≠1）的形式，利用待定系數法可求得r=■（p≠1）；（2）形如an+1=pan+qn（其中p，q均為常數，（pq（p-1）（q-1）≠0））型的遞推式。可以在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得：■=■·■+■引入輔助數列bn（其中bn=■），得：bn+1=■bn+■，然后轉化為第一種形式求解；（3）形如：數列xn，滿足xn+2-pxn+1-qxn=0，可轉化為xn+2-sxn+1=t（xn+1-sxn）其中s、t為xn+2-pxn+1-qxn=0的兩根……

部分教師在講解這類問題時，通常給出類型，然后直接講解這類問題的方法是什么，沒有過渡，沒有誘導，學生感覺不好理解，感覺突然。甚至有些老師把上述個別類型作為定理告述學生。這違反人們的認知規律，影響了學生的學習性趣。大家知道數學是自然的，如果我們感覺某個知識不自然，是強加于人的，那么我們應該考查一下它的背景，它的形成過程。

筆者在教育實踐中把上述內容作為學生的探索性內容來處理，取得了很好的效果。我們首先應明確，通過等差數列及等比數列的學習，學生應該學會的思想方法是什么呢？我想學生應該學會研究這兩種數列的研究方法，以及能以這兩種數列為背景研究較復雜的數列。

為了引入第一個類型，我向學生提出下述問題：已知數列an，an=2n-1，問：an+1是怎樣的數列？這個數列相鄰兩項有怎樣的遞推關系？學生經過思考得出an+1是以a1+1=2為首項，公比為2的等比數列。且得出遞推關系an+1=2a1+1（n∈N*）。然后又提出另一個問題：已知數列an中，an=2n+1-3.問：an+3是怎樣的數列？這個數列相鄰兩項有怎樣的遞推關系？學生經過思考得出an+3是以4為首項，2為公比的等比數列，且得出遞推關系an+1=2an+3（n∈N*）。最后我把這個問題推廣到一般情形。如果一個數列an-r是以p（p≠1）為公比，以a1-r為首項的等比數列，其中r=■，那么這個數列相鄰兩項有怎樣的遞推關系？學生經過思考得出an+1-r=p（an-r）（p≠1），進一步得出an+1=pan+q（p≠1）。這樣我們自然引出第二類型：如果an+1=pan+qn（其中p，q均為常數，(pq(p-1)(q-1)≠0)）。在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得：■=■·■+■引入輔助數列bn（其中bn=■），得：bn+1=■bn+■再同第一類型。

為了引入第三個類型我向學生提出下述問題：已知數列an中，3an+2-5an+1+2an=0（n≥0，n∈N），a1=a，a2=b問數列an-an-1是什么數列。

學生經過思考，由3an+2-5an+1+2an=0，得an+2-an+1=■（an+1-an），且a2-a1=b-a。則數列an+1-an是以b-a為首項，■為公比的等比數列，于是an+1-an=（b-a）（■）n-1。我向學生提出下述問題：如果一個數列有遞推關系an+2-san+1=t（an+1-san），那么an+1-san是什么數列？學生自然得出這是等比數列。然后我們讓學生自己推導an+2-san+1=t（an+1-san），實際就是遞推公式為an+2=（s+t）an+1-stan，即an+2=pan+1+qan，顯然s+t=pst=-q，從而得出方程x2-px-q=0的兩根是s，t.這樣本例有第二解法：數列an：3an+2-5an+1+2an=0（n≥0，n∈N），a1=a，a2=b的方程3x2-5x+2=0。其兩根x1=1，x2=■，所以有an+2-an+1=■（an+1-an），且a2-a1=b-a。則數列an+1-an是以b-a為首項，■為公比的等比數列。這樣第三類型得解決。

總之“問題是數學的心臟”，發展學生的數學思維能力一條非常重要的途徑就是向學生提一些可探索性問題。教師應引導學生自主探索解題過程，并進一步推廣到一般的情形。讓學生不受任何約束進行多角度地、突破常規的探索，這樣就利于培養學生的發散性思維，發展學生的創造能力。