關(guān)于面積變化的運動型幾何題的講解

縱觀近幾年各省市的中考題，關(guān)于面積變化的運動型幾何綜合題越來越新穎，它通常是將給定的圖形按某種方式沿直線運動變化，期間面積也發(fā)生變化，要求學(xué)生去探索得到相應(yīng)的結(jié)論，同時說明理由．這些題目大都有一段較長的敘述性文字，要求在解題過程中思路要十分清晰，并能靈活運用所學(xué)的各種知識進行解題，然而就算這些題目中有些難度不算太大，學(xué)生拿到這種數(shù)學(xué)題，也是感到無從下手．教師投入的時間和精力不少，而實際教學(xué)效果卻不令人滿意．怎樣向?qū)W生講解這些題目，教會學(xué)生用什么方式來思考這些題目呢？本文以2008年廣東省初中畢業(yè)考試中的一道關(guān)于面積變化的運動型幾何題為例進行探討．

題目：將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連結(jié)CD．

(1)填空：如圖1，AC=，

BD=；四邊形ABCD是 梯形.

(2)請寫出圖1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如圖2，若以AB所在直線為軸，過點A垂直于AB的直線為軸y建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系，保持ΔABD不動，將ΔABC向軸x的正方向平移到ΔFGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點P，設(shè)AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

一、讓學(xué)生學(xué)會認(rèn)真讀題

審題對于數(shù)學(xué)尤其重要，有時題目中一個字的改變就會導(dǎo)致整道題目思路的改變．這就需要學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣．具體要求是把題目讀三遍：第一遍粗讀，大概了解題目講些什么？第二遍精讀，對照圖形讀題，找出題目的關(guān)鍵詞或注意點，把已知條件在圖上作出適當(dāng)?shù)臉?biāo)記，第三遍按題分析，一邊讀題，一邊聯(lián)系學(xué)過的知識，將有關(guān)知識從大腦中提取出來，并加以綜合，要求根據(jù)題意作出簡單的分析或畫出相應(yīng)的圖、作出輔助線等，從而找到解題思路和方法．如上題中第（2）問中是不能寫全等三角形的，第（3）問中要求保持ΔABD不動，將ΔABC平移，當(dāng)F與B重合時，ΔFBP已不存在，所以存在t的取值范圍，這些是必須向?qū)W生強調(diào)．因為要求ΔFBP的面積 ，就要作輔助線：過點P作PK⊥FB于點K．

二、讓學(xué)生學(xué)會向自己提問

如：見過這個問題嗎？見過與其類似的問題嗎？要求的這個結(jié)論有代替它的條件嗎？用這樣向自己提問的方法引出潛伏在自己腦袋里的相關(guān)知識．如上題第（2）中，題目沒有說明寫多少對相似三角形，學(xué)生很容易會遺漏，但如果學(xué)生在解題過程中多問自己幾次，如還有沒有相似的呢？平移后四邊形ABCD是等腰梯形有什么用呢？ΔDEC與ΔADC有可能相似嗎？在這些思路的引領(lǐng)下，才能找出實際上相似的三角形有9對．

三、讓學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化問題

數(shù)學(xué)家徐利治先生曾說過：解題的本質(zhì)在于“化”，即把未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，化歸到某個已經(jīng)解決或易于解決的問題，最終求得原問題的解．也就是利用“等效的敘述”恰當(dāng)?shù)匕褑栴}變化，使“已知的”和“所求的”愈來愈接近．在這些幾何綜合題中，有的條件給出的形式比較清晰明了，但有的條件給出的形式比較隱蔽，能否把這些隱蔽的條件挖掘出來， 轉(zhuǎn)化為有用的依據(jù)就成為解題的關(guān)鍵．如上題中，學(xué)生雖然知道四邊形ABCD是等腰梯形，但在這里面還隱含一個條件DC=AD，如果沒找到這個條件，就找不到△DCE∽△ACD，就會造成漏解． 在求解ΔFBP的面積時，題目沒給出高PK的長度，但可利用RtΔPKB和 RtΔADB的公共角 ∠PBK，從而轉(zhuǎn)化為先求PK的長度，再求ΔFBP的面積，具體的求解過程如下：

由題意知，F(xiàn)P∥AE，

∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

∴ ∠PFB＝∠2＝30°，

∴ FP＝BP.

過點P作PK⊥FB于點K，則 FK＝BK ＝FB.

∵ AF＝t，AB＝8，

∴ FB＝8－t，BK ＝(8-t).

在Rt△BPK中，

△FBP的面積S=#8226;FB#8226;PK=#8226;(8-t)#8226;(8-t)，

∴ S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：

S=(t-8)2，或S=t2-t+.

故t的取值范圍為：0≤t<8.

在探索解題方法的過程中，有時要不斷地多次轉(zhuǎn)化問題，使問題明朗化，為解題帶來方便．

四、讓學(xué)生學(xué)會變式思考

要讓學(xué)生知道，并不是為了做這道題而講解這道題，而是為了做這一類型的題而講解這道題，許多題目都可以進行變“形”不變“質(zhì)”、變“質(zhì)”不變“形”、改變題設(shè)保留結(jié)論或保留題設(shè)延伸結(jié)論等多種變式研究．變式探究對于發(fā)展思維的廣闊性、深刻性、發(fā)散性與創(chuàng)造性具有綜合訓(xùn)練功能，對學(xué)生更是一種極好的探究能力的訓(xùn)練，對促使學(xué)生自覺進行知識體系整理與思路方法歸納極有好處．經(jīng)常地、有意識地花力氣引導(dǎo)學(xué)生嘗試作例習(xí)題的變式探究，是提高課堂教學(xué)效率的有效手段．

變式：如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線上，AD∥BC，AB⊥BC于點B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動，當(dāng)點C與點G重合時停止移動．設(shè)梯形與正方形重疊部分的面積為S．

(1)求正方形的邊長；

(2)設(shè)直角梯形ABCD的頂點C向右移動的距離為x，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)直角梯形ABCD向右移動時，它與正方形EFGC的重疊部分面積S，能否等于直角梯形ABCD面積的一半？若能，請求出此時運動的距離x的值；若不能，請說明理由．

這題是關(guān)于直角梯形在直線上沿規(guī)定方向移動的幾何題，運動的過程與例題相似，在移動的過程中重疊部分的面積發(fā)生變化，求此題的關(guān)鍵要抓住動線段BN在各個時間或時間段內(nèi)點D與正方形EFGC的位置關(guān)系.對問題（3）這類提問，一般假設(shè)結(jié)論成立（也就是存在），按問題（2）的方法求解，若解答過程中產(chǎn)生矛盾，則假設(shè)不成立，沒有矛盾則為結(jié)果．

責(zé)任編輯羅峰

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文