巧用“向量法”解立幾題

向量是高中數(shù)學(xué)新增的內(nèi)容．由于向量特有的“神（坐標(biāo)形式）形（幾何形式）兼?zhèn)洹边@一特征，使向量及其平行、垂直的充要條件都有其坐標(biāo)表示形式和幾何表示形式，加之向量的數(shù)量積不僅是一個(gè)實(shí)數(shù)，而且與向量的夾角及其余弦值緊密相關(guān)，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介．因此，新高考常把向量與立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)等與平行、垂直、夾角等有關(guān)問題結(jié)合起來作為命題的切入點(diǎn)．

一、向量法求空間角

空間角的計(jì)算是歷年高考的熱點(diǎn)問題．傳統(tǒng)的綜合推理方法是采用“形到形”的推理，即要求學(xué)生根據(jù)題設(shè)的條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形．不論是求異面直線所成的角、直線和平面所成的角，還是二面角，傳統(tǒng)的綜合推理方法都是通過“一作二證”轉(zhuǎn)化為在三角形中求平面角，即由“一作二證三求”完成．但對大多數(shù)的學(xué)生來說，掌握這種“形到形”的推理方法比較困難．如果借助向量加以解決，把立體幾何代數(shù)化，學(xué)生就可以運(yùn)用他們熟悉的代數(shù)方法進(jìn)行推理來掌握空間圖形的性質(zhì)．而通過向量工具，可以把求角問題用求向量、的夾角θ（即用cosθ= ）來計(jì)算，這樣就大大降低了思維難度，充分體現(xiàn)了幾何代數(shù)化的優(yōu)勢．

利用向量法求空間角極為方便，無須具體考慮如何作輔助線，從而避開抽象幾何推理和繁雜的計(jì)算，使解題過程順暢，乃至簡捷．具體解題步驟可歸納為：

1. 求異面直線所成角：設(shè)，分別為異面直線a與b的方向向量，設(shè)異面直線a、b所成角為θ，則cosθ=.

2. 求直線與平面所成角：設(shè)直線a與平面α所成的角為θ，是直線a的一個(gè)方向向量，是α的一個(gè)法向量，則sinθ=cos（，）=.

3. 求二面角：設(shè)二面角α-β-γ的大小為θ（0≤θ≤π），、分別是α、β的一個(gè)法向量，則<，>與θ相等或互補(bǔ)，再結(jié)合題設(shè)的條件就能確定θ的大小.

二、向量法求空間距離

空間距離包括異面直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、線面平行求距離及面面平行求距離等．課本中只是學(xué)習(xí)了利用向量的方法求兩條直線的夾角，而對求兩異面直線的距離還是停留在找、求公垂線上，這就給學(xué)生帶來了知識的局限性．

利用向量射影法求空間距離，可避開尋找公垂線段而帶來的麻煩，降低了解題的難度．具體解題步驟可歸納為：

1. 求異面直線的距離：設(shè)是異面直線a、b的公垂線的一個(gè)方向向量，在a、b上各取任一點(diǎn) A和 B，設(shè)異面直線a、b的距離為d，則d=.

2. 求點(diǎn)到平面的距離：設(shè)A在平面α外，B在平面α上，向量 是平面 α的一個(gè)法向量，點(diǎn) A到平面 α的距離為 d，則d=.

3. 線面平行求距離及面面平行求距離，可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．

三、向量法解立體幾何開放性問題

開放性問題作為培養(yǎng)學(xué)生探究能力和創(chuàng)新精神的載體，在新課程改革中有著充分的體現(xiàn)，在高考中所處的地位也越來越突出．

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD=∠BCD=60°，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，能使 A1C⊥平面 C1BD，請給出證明.

由#8226;=0#8226;=0

由向量數(shù)量積的意義，得：

２（λcos60°+λ２-1-cos60°）= 0

解得：λ=1或λ=-（舍去）.

即當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，能使 A1C⊥平面 C1BD.

此例若單純用立體幾何知識解答，方法雖多，卻均有一定的難度，但用向量法來進(jìn)行處理，求解起來就顯得得心應(yīng)手．

責(zé)任編輯羅峰

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