求函數(shù)值域的若干方法

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容之一，而函數(shù)的值域就是函數(shù)內(nèi)容的一部分．在學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)，函數(shù)值域的求法就是教學(xué)中的難點(diǎn)之一．本文舉例說(shuō)明函數(shù)值域的若干求法與技巧，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的觀察、分析能力和理解能力．

反函數(shù)法

所謂反函數(shù)法，就是先求出原函數(shù)的反函數(shù)，然后用判斷反函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域．

例：求函數(shù)y =的值域.

分析：反函數(shù)的定義域就是反函數(shù)的值域.

解：把原函數(shù)變形得（y －1）ex= －（y+1），當(dāng)y≠1時(shí)，得 ex= ，所以 x=ln（），所以原函數(shù)的反函數(shù)的解析式為y= ln（）.

由于＞0，解得－1＜x＜1，定義域?yàn)閧x | －1 ＜x＜ 1}，故原函數(shù)的值域?yàn)閥∈（ －1， 1）.

說(shuō)明：形如y=（c≠0）類型，可以選擇反函數(shù)法來(lái)求函數(shù)值域，這種方法實(shí)質(zhì)上是從函數(shù)的解析式中解出x，并由此尋找因變量y的可取值范圍，這就是所求函數(shù)的值域．

配方法

所謂配方法就是通過(guò)對(duì)原函數(shù)變形，把它化成含有平方的形式（y=（ax+b）2+c）再判斷函數(shù)值域.

例：求函數(shù)y=－sin2x＋4cos2 的值域.

解：y=－sin2x＋4cos2

=cos2x－1+2+2cosx

=（cosx+1）2

當(dāng) cosx= 1 時(shí) ，y 取最大值 4

當(dāng)cosx= －1時(shí) ， y 取最小值 0

∴ 函數(shù)值域是[0，4].

說(shuō)明：配方法是求二次函數(shù)類值域最基本的方法，求y=ax2+bx+c型函數(shù)的值域均可用配方法.

換元法

所謂換元法就是把某些含有未知數(shù)的復(fù)雜的式子用一個(gè)簡(jiǎn)單的字母t來(lái)表示，并求出t的取值范圍，然后用字母t來(lái)表示整個(gè)函數(shù)，最后求得函數(shù)值域．

1. 代數(shù)換元法

例：求函數(shù)y=2x+的值域.

分析：根式中x的次數(shù)可視為，因此前后x的次數(shù)比為2比1的關(guān)系，可采用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決．

解：令 =t（t≥0）則 x=

∴ y =-t2+ t + 1

=-t-2+

當(dāng) t=時(shí)， 即x=時(shí)，y的最大值為，無(wú)最小值.

∴ 函數(shù)的值域?yàn)?∞，.

2. 三角換元法

例：求函數(shù)y=x-的值域.

分析：前后x的次數(shù)比為1比1，本題不能采用上題的換元法．注意到x∈[-1，1]，可采取三角換元，既符合題目要求，又能利用三角恒等式化簡(jiǎn)根式．

解：設(shè)x=sin?茲，?茲∈-，

原式=sin?茲-=sin?茲-cos?茲=sin?茲-cos?茲=sin（?茲－）?茲∈-，

函數(shù)在上?茲∈-，先減后增，∴－１≤sin（?茲－）≤.

說(shuō)明：帶根式的函數(shù)，本身求值域比較難，這時(shí)可考慮用換元法將其變形，換元適當(dāng)，事半功倍．換元之后應(yīng)考慮新的變量的取值范圍，在此基礎(chǔ)上再求函數(shù)值域．形如y=ax+b+的類型，都可以用換元法來(lái)解．函數(shù)y=2x+與 y=2x+函數(shù)形式類似，都可以用換元法來(lái)解，但又有不同，前者在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不能用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解．

判別式法

采用判別式法求值域的函數(shù)應(yīng)滿足三個(gè)要求：1. 分子分母至少有一個(gè)是二次；2. 函數(shù)的定義域是函數(shù)的自然定義域；3. 分子分母不再可約．

例：求函數(shù) y= 的值域.

解：采用判別式法，整理得

﹙y + 1﹚x2－﹙y + 1﹚x +1－y =0

要使得x有實(shí)數(shù)解，即方程有實(shí)數(shù)根

則△x=﹙y+1﹚2 －4﹙y+ 1﹚﹙1- y﹚≥0

即5y2+2y-3≥0

解之， 得y ≤-1或y≥

當(dāng) y= ， 代入原式解得x=

當(dāng)y = -1 ， 代入原式，沒(méi)有相應(yīng)的x值

所以所求函數(shù)值域?yàn)閥∈（-∞，－１）∪［，∞）.

說(shuō)明：形如y=的類型，都可以用判別式法，但是利用判別式法求值域時(shí)，要審查等號(hào)是否成立．也就是說(shuō)，能否在定義域內(nèi)找到的值，使函數(shù)達(dá)到最大值和最小值.

以上舉例說(shuō)明了幾種求函數(shù)值域的方法，各法各有特點(diǎn)，不同的函數(shù)類型有不同的解法．我們?cè)谇蠼夂瘮?shù)值域時(shí)，一定要結(jié)合題目的特點(diǎn)，分清函數(shù)類型，然后選擇適合的方法并靈活運(yùn)用．

責(zé)任編輯羅峰

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文