巧設輔助線,妙解幾何題

幾何問題是困擾學生的一大難題，尤其是需要添加輔助線的幾何問題．其實添加輔助線是有規律可循的，教師在教學過程中科學、準確地引導學生添加每一條輔助線，能幫助學生揭開輔助線的面紗，攻克幾何難題．

但學生添加輔助線往往是盲目的，經常是不著邊際地添加一些不恰當的輔助線，不僅不能助于解題，有時反而影響對習題的解答．那么究竟從哪里入手添加輔助線才能既快捷又準確呢？

１． 從題設入手添加輔助線

為了應用已知條件，必須把條件涉及的幾何元素歸到基本圖形中．如果基本圖形不全，就要添加輔助線，把題設隱含的條件充分顯示出來，為定理的應用創造條件，從而有利于迅速找到題目的最近切入口，進而推導出題目的結論．

例1：如圖1，△ABC中，M是BC的中點，AD是∠A的平分線，BD⊥AD，垂足為D，AB=12，AC=18.求DM的長．

分析：本題有非常明顯的圖形特征：AD是∠A的平分線，BD⊥AD，自然聯想起三合一圖，從而延長BD，與AC交于點N，這條輔助線就是從題設入手．

從題設入手添加輔助線的情況很多．如在圖中已知直徑時，常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題；有兩圓相交時，不忘公共弦；已知一條直線與某圓切于某一點時，常連結圓心和切點，得到半徑垂直于切線．

２． 從結論入手添加輔助線

如在證兩弧相等的問題時，常作等弧所對的圓心角或作弧所對的弦．

例2：如圖2，已知AB是⊙O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，求證：弧AC等于弧BD．

分析：本題常用的輔助線有兩種：①連結OC、OD；②連結OC、OD、AC、BD.添加這兩種輔助線的出發點都來自題目的結論．

例3：如圖3，已知△ABC，AB=AC，D為BC邊上任一點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于點F，BH⊥AC，求證：DE+DF=BH．

分析：本題常規的輔助線作法是過點D作DG⊥BH，實質平移DF，得DF=GH，再利用三角形全等的性質解決DE=BG．這樣添加輔助線的出發點就是題目的結論：BH=DE+DF．根據題目涉及的線段尋找基本圖形，通過添加輔助線讓這些幾何元素回歸到同一條直線上線段的關系．

３． 兩者兼顧，科學選擇

從題設入手添加輔助線，方便進行綜合推理，但不一定能完成推理；從結論入手添加輔助線，易于進行逆向分析，但也不一定能完成證明．只有做到二者兼顧，才是科學的選擇．

例4：如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分別是DC、AB的中點．求證：MN=（AB-CD）．

分析：本題若從已知條件出發，第一方案就是延長AD和BC，構建直角三角形（如圖5（1）），可是這樣對處理MN=（AB-CD）是不明顯的；第二方案是平移梯形的腰，雖構造了AB-CD（如圖5（2）），可此方案沒有聯系題目中的中點條件．所以需要同時平移梯形的腰AD、BC（如圖5（3）），這樣既能考慮題設，又能兼顧結論．

責任編輯羅峰

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