構建數學模式 促進問題解決

教學模式是內化到人頭腦中的符號(表象、語言等)形式，也就是皮亞杰所說的狹義的認識圖式。它是對客觀現實的結構特征和量化屬性的形式化、概括化的描述，是對事物的量化本質的認識。是人腦抽象思維的產物。無論是數學中的概念和命題，或是問題和方法，事實上都是一種具有普遍意義的模式。我們經常說的數學模型其實也是一種數學模式，它是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關于實際問題的數學模式。因此，培養學生不斷地創造模式，研究模式，應用模式的思想方法就成為“解決問題”教學的重要任務。

在教學實踐中，我們發現在用方程解決問題時(人教版實驗教材五年級上冊)學生經常碰到以下一些困難:

1 不善于識別隱蔽的等量關系。列方程解應用題的關鍵在于通過分析，把實際問題中的數量關系轉化為數學問題，再列出條件等式(方程)，而等量關系往往隱含于題文情境之中，題目一般不會直接給出，由于學生受“算術解法”定式的影響初學時往往找不到等量關系。

2 受多重等量關系的干擾。列方程解應用題，確定等量關系沒有固定的模式，因為各人考慮的角度不同，選取的等量關系也不同，這就增加了學生確定等量關系的困難。

3 課時少(三課時完成)，加之初學，又是學習難點。在課堂上盡管我把分析題意、尋找數量關系作為重點進行教學，不斷地對學生加以引導、啟發，力求使學生理解、掌握解題的基本思路和方法，但學生在學習過程中仍不能很好地掌握這一要領，出現了一些意想不到的錯誤。如此看來，若不改進教法，很難在規定時間內完成教學任務。

為此，我們就如何遵循數學模式發展的一般規律，用模式論的方法教學用方程解決問題做了一些有益探索。教學過程如下。

一、談話引入，引導自主編題

1 呈現下面三道題(要求口答，只列方程，不計算):

(1)甲數是230，比乙數的3倍多50。乙數是多少?

(2)甲地到乙地相距200千米，一輛轎車從甲地出發行駛2小時后，距離乙地還有40千米，請問這輛轎車每小時行駛多少千米?

(3)每千克蘋果4.8元，比橘子的2倍多0.2元，橘子每千克多少元?

2 反饋。說說等量關系，再概括三題的共同點。

得出:( )x+( )=( )。

接著把以上(1)、(3)兩題中的“多”改為“少”，使學生知道只要將方程中的“+”改為“一”，并把以上的模式改為( )x±( )=( )。

3 針對以上模式引導學生聯系生活實際自主編題，并列出方程。

4 根據學生編題和所列方程情況，組織評講。

教學意圖:如何理解方程ax+b=c及其解法。教師先讓學生練習找等量關系，并分別用不同的方法解方程。再通過觀察比較，發現這兩道題都是幾個幾加減幾等于多少的問題(ax±b=c)，殊途同歸。然后總結出上面模式，并以此為框架自主編題，鞏固剛剛總結的模式與解題方法。幫助學生在復雜的情境中抽象出數學模型。

二、呈現題組，繼續自主編題

1 呈現下面題組(要求列出方程):

(1)水果店里有6箱蘋果和60千克橘子，蘋果和橘子共有150千克。問每箱蘋果平均重多少千克?

(2)水果店里有6箱蘋果和4箱橘子，共重150千克。每箱蘋果和每箱橘子一樣重，問每箱橘子(或蘋果)重多少千克?

(3)水果店有蘋果和橘子共150千克，蘋果的質量是橘子的1.5倍，問橘子有多少千克?

2 反饋。說說等量關系，找一我(2)(3)兩題的共同點。

得出:( )x+( )x=( )[說說與第(1)題的關系。]

接著把第(2)、(3)題分別改為:

(4)水果店里有6箱蘋果和4箱橘子，蘋果總質量比橘子多30千克，而且每箱蘋果和每箱橘子一樣重，問每箱橘子重多少千克?

(5)水果店里蘋果的質量比橘子多30千克，而且蘋果的質量是橘子的1.5倍，問橘子有多少千克?

列出方程后，把方程整理為以下模式:( )x±( )x=( )。

3 依照以上模式啟發學生聯系實際編題，并列方程解答。

4 組織反饋評講。

教學意圖:本環節的教學在ax±b=c的基礎上分層次逐步導出ax±bx=c的形式。這樣做前后自然過渡，學生由于有第一環節的基礎，所以容易總結出ax±bx=c的模式，使知識和方法都得到鞏固。

三、組織練習、歸類。靈活解題

1 列方程解答下列各題，并想一想你用了哪些等量關系。

(1)臨海小學五(1)班有籃球18個，比足球的3倍少2個，足球有多少個?

(2)張大伯的果園里有桃樹和梨樹共180棵，已知桃樹的棵數正好是梨樹的4倍，梨樹有多少棵?

(3)現有數量相同的雞兔同籠，已知腿共有42條，問籠子里的雞和兔子各有多少只?

2 選擇題。

(1)根據線段圖選出正確的方程。方程為( )

①x-x=320 ②3x=320-x

③3x=320+x ④3x-320=x

教學意圖:學生通過比較以上四個方程的聯系與區別，感受到同一模式下多角度解決問題的方法。

(2)6筐蘋果和6筐香蕉共重210千克。如果平均每筐蘋果重15千克，那么平均每筐香蕉重多少千克?設平均每筐香蕉重x千克。列式為( )。

①6x+x×15=210 ②6x-15=210

③6x=210-6×15 ④6(x+15)=210

(3)右圖的總面積為80平方米，求x的方程是( )。

①10×5+5x=80 ②10×5-5x=80

③10×(5+x)=80 ④10×(5+5)-(10-x)×5=80

教學意圖:通過幾個環節的教學，使學生能比較自覺地用模式思想來解決問題，同時對算術解與方程解的聯系與區別有深入的認識。

四、教學感悟

美國著名數學教育家波利亞說:“如果你希望從自己的努力中取得最大的收獲，就要從已經解決了的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征。如果一種解題方法是你通過自己的努力而掌握的，或者是你從別處學來或聽來并真正理解的，那么這種方法就可以成為你的一種模式，即在解決類似問題時可用作模仿的一種模式。”(《數學的發現》)

本課正是從典型的問題出發，通過練習使學生能較熟練地分析數量關系的特點，掌握列方程解應用題的方法，進而逐步抽象出一般的方法，然后再概括上升為更一般的模式，得到實質上的數學思維模式。

責任編輯:李瑞龍