一道簡單習題的拓展與引申

題目:如圖1，已知AB是⊙O的直徑，MN切⊙O于點C，過點B作BE⊥MN于點E，過點C作CF⊥AB于點F，試說明BE=BF.

分析:要說明BE=BF，若連接CB，利用條件“BE⊥MN，CF⊥AB”，只要證∠BCE=∠BCF即可.根據“AB是⊙O的直徑”，則連接CA得Rt△ABC(如圖2)，易證∠BCE=∠BCF=∠CAF，由此利用角平分線性質說明BE=BF.

引申1:如圖3，在原題其他條件不變的情況下，如果再過點A作AD⊥MN垂足為D.求線段CF、AD、BE之間的數量關系.

分析:根據上例可知BE=BF，同理可證AF=AD，而在Rt△ABC中，利用相似三角形可證得CF2=AF#8226;BF，因此CF2=AD#8226;BE.

引申2:如圖4，在引申1的基礎上如果AB是⊙O的任意一條弦，上題中線段CF、AD、BE之間的關系還能成立嗎?

分析:由“AB是⊙O的直徑”推廣到“AB是⊙O的弦”，由特殊到一般，上題是利用Rt△ACF∽Rt△CBF，得CF2=AF#8226;BF，再利用BE=BF、AF=AD代入證得.易證Rt△ACF∽Rt△BEC、Rt△ADC∽Rt△CFB，雖無上例中的相等線段，但是可得CFBE=ACBC，ACBC=ADCF，得CFBE=ADCF，因此CF2=AD#8226;BE.結論同樣成立.

拓展1:如圖5，已知:AB是⊙O的直徑，MN切⊙O于點C，AD、BE分別是過A、B兩點⊙O的切線，分別交直線MN于點D、E.試說明線段OC、AD、BE之間的關系.

分析:此題與以上幾例有所不同，涉及圓的三條切線，若連接OD、OE，由切線長定理可得:AD=DC，BE=EC，∠COD=∠AOD=12∠AOC，∠COE=∠BOE=12∠BOC，而∠AOC+∠BOC=180°，則得Rt△DOE，而OC是斜邊上的高，得OC2=CD#8226;CE，因此OC2=AD#8226;BE.

拓展2:如圖6，在原題其他條件不變的情況下，如果延長BA交直線MN與點P，你能說明線段PC2=PA#8226;PB嗎?

分析:連接AC、BC，易證△PCA∽△PBC，則有PCPB=PAPC，得PC2=PA#8226;PB.

引申1:在拓展2中，如果其他條件不變，過點P還有一條直線交⊙O于點G、H(如圖7).你能說明PC2=PG#8226;PH以及PA#8226;PB=PG#8226;PH嗎?

分析:用上例方法同理可證PC2=PG#8226;PH，又PC2=PA#8226;PB，便得PA#8226;PB=PG#8226;PH.這就是我們所說的切割線定理和割線定理.

引申2:在拓展2中，如果其他條件不變，連接AC、EF(如圖8)，證明:AC∥EF.

分析:由拓展2知PCPB=PAPC，再利用Rt△PCF∽Rt△PBE，得PCPB=PFPE，則有PAPC=PFPE，加之∠P為公共角，則△PCA∽△PEF，得到同位角相等，證出AC∥EF.

由此可知，我們在平時解題時，不能淺嘗輒止，要清晰理解題意、吃透題目內涵、深層次挖掘題目的隱含信息，探究問題能給我們帶來豐富的信息，拓展我們的數學思維，并享受數學給我們帶來的快樂.

(責任編輯 金 鈴)