淺談一元二次不等式解法的教學方法

整個高中數學課程共十五章，一元二次不等式的解法排在第一章第五節，是在繼初中學習一元一次不等式及二次函數基礎上，進一步研究一元不等式的知識，在數學知識鏈中起到承上啟下的作用，它與集合的綜合題是高考的熱門考題，幾乎每年高考都有這類題型，因此我們很有必要對一元二次不等式解法的教學方法進行探究.經多年的教學實踐我認為用數形結合教學方法是上好這個知識點的最佳方法.

一、用數形結合法引入課題，就能使學生掌握新知的一半

“良好的開端等于成功的一半.”我們知道，一堂生動活潑的具有教學藝術魅力的好課猶如一支婉轉優雅的樂曲，“起調”扣人心弦，“主旋律”引人入勝，“終曲”余音繞梁.其中“起調”就是指課堂教學引入問題.在讓學生復習二次函數的同時在黑板上畫出y=ax2+bx+c(a>0，圖象與x軸有兩個交點x1、x2且x10，y<0，并觀察與之相對應的x的取值范圍.在看到這樣形象直觀的圖象后對于老師提出的問題學生會感到熟悉，且不難回答，都積極參與“尋找”活動，很快得出正確結果:

師生共同得出結論:y=0總是介于y>0與y<0之間，這樣即培養了學生的觀察能力，又能使他們感受到數形結合這種思想能有效地解決數學問題，以便他們在今后解決數學問題時會想到用這種方法.此時教師可引導學生在觀察圖形后得出:

y>0;y=0;y<0也就是

①ax2+bx+c>0;②ax2+bx+c=0;③ax2+bx+c<0.(a>0)

則①、③就叫做一元二次不等式，②是一元二次方程，而與y>0，y<0所對應的x分別是他們的解集，同時觀察到二次函數圖象是集二次函數、一元二次不等式、一元二次方程于一身的圖象.這樣使學生對一元二次不等式解法在感知和理性上有了深刻的理解，“新知”也就掌握了一半.

二、用數形結合法可觀察出一元二次不等式的解是用“等”來解決“不等”而得到的

“等”和“不等”是對立的，但如果著眼于“等”與“不等”的關系，會發現它們之間相互關系的另一面.設M、N是代數式，可把等式M=N叫做不等式MN，M≥N相應的等式.我們把一個不等式與其相應的等式對比進行研究，發現“等”是“不等”的“界點”，是不等的特例，深入一步，可以從“等”的解決來發現“不等”的解決思路.而一元二次不等式的求解就是用“等”來解決“不等”的一個典型列子.讓學生繼續觀察y=ax2+bx+c(a>0，圖象與x軸有兩個交點)的圖象，不難看到y=0時與之對應的x的取值就是一元二次不等式相應的一元二次方程的根，而這個根就是相應的一元二次不等式的“界點”，因此就必須先求出相應的一元二次方程的根.從二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象觀察到:

1.在a>0時，若Δ>0，則方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根x1，x2(x1

∴ax2+bx+c>0的解集為:{x|x>x2，或x

ax2+bx+c<0的解集為:{x|x1

總結為順口溜:“>”取“兩邊”，“<”取“中間”.

2.在a>0時，若Δ<0，則方程ax2+bx+c=0沒有實數解，也就是說圖象與x軸沒有交點，即x1、x2不存在，整個圖象都在x軸上方.所以不等式ax2+bx+c≥0的解集為R，ax2+bx+c≤0的解集為.

三、通過誘導猜想，使學生獨立發現解題步驟

以上的討論觀察都是二次函數y=ax2+bx+c的圖象

在a>0的情況下得到的結論，試猜想這些結論在a<0時成立嗎? 教師在黑板上畫出y=ax2+bx+c(a <0，圖象與x軸有兩個交點x1、x2且x10，y=0，y<0與之對應的x.發現y=0對應的x與y=ax2+bx+c(a>0)的一樣，而y>0，y<0所對應的x與y=ax2+bx+c(a>0)中的y>0，y<0所對應的x的值剛好相反，于是就會想到利用不等式的基本性質將二次項系數變為正的，這樣在解一元二次不等式時不用去討論二次項系數為負的解了，直接將其變形為二次項系數為正的一元二次不等式來解即可得到原不等式的解集，于是學生就能總結出解一元二次方程的步驟:

①二次項的系數為正數;

②由“等”的解得到“不等”的解，即由方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解x1、x2且x10，ax2+bx+c<0的解集分別為{x|x>x2，或x”取兩邊，“<”取中間.

例如，解不等式(x-a)(b-x)>0(a

解:∵不等式左邊乘法運算后二次項系數為-1，這樣就先把不等式變形為(x-a)(x-b)<0(a

∴方程(x-a)(x-b)=0的兩根為:

x1=a，x2=b，

∴原不等式的解集為:{x|a

此時教師可提出拓展性問題:解簡單的一元高次不等式是否也是要最高次項的系數為正更便于求解?回答是肯定的.

數形完美的結合是解決數學問題的一種有效思維方法，是培養學生思維創造型、廣闊性、深刻性的重要途徑之一，也是解題的常用方法.正確合理地應用數形結合技巧，常能使問題化難為易，化抽象為直觀，從而迎刃而解.

(責任編輯 金 鈴)