論以某點為中點的弦是否存在

摘要：在圓錐曲線的學習中，常要遇到一類重要問題：求以某點為中點的弦所在的直線方程。那么以某點為中點的弦是否存在成為解決這一問題的關鍵，本文通過徹底解決這一存在性問題同時也給出解決這一問題常用的一種方法。

關鍵詞：圓錐曲線；橢圓；拋物線；雙曲線；弦

已知：雙曲線的方程是x2-■=1，則以P（1，1）為中點的弦是否存在？若存在求其所在的直線方程，若不存在請說明理由。這是一道散見于各種高三復習資料的一個題，其結(jié)果可由下面方法得出：

假設以P為中點的弦存在，其為AB，A、B在雙曲線上，設A（x1，y1），B（x2，y2）則

x■■-■=1......（1）x■■-■=1......（2）

（2）-（1）得（x2-x1）（x2+x1）-■=0

又■=1■=1

∴2（x2-x1）-■（y2-y1）=0

∴■=4

∴直線AB的方程為：y-1=4（x-1）

即y=4x-3 ......（3），由題意直線（3）要與雙曲線x■■-■=1有兩個不同的交點，將（3）代入雙曲線方程得：12x2-24x+13=0.有二不同的解，然而?駐=242-4×12×13＜0，因此上方程無解，所以以P（1，1）為中點的弦不存在。由此可知在圓錐曲線中以某些點為中點的弦不一定存在。

那么，點P在那些位置時，以P為中點的弦是存在的，而又在什么位置時以其中的中點的弦不存在呢？對雙曲線我們有如下結(jié)論：

定理1：在雙曲線中，當P位于雙曲線與其漸近線（包括雙曲線和漸近線上的點，中心除外）之間時，以P為中點的弦不存在，其他位置時以P為中點的弦一定存在。

此定理可證明如下：設P（m，n），以其為中點的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），雙曲線方程為■-■=1，將A、B的坐標代入并做差得：■=■，當x1=x2時，n=0，P在軸上，如果-a≤m≤a，m≠0，此時直線AB與雙曲線無兩交點，因此此時以P為中點的弦不存在，如果m＜-a或m＞a時，過P垂直于x軸的弦即為所求，當x1≠x2時n≠0，此時弦所在的直線的斜率為k=■=■，弦所在的直線方程是y-n=■（x-m），將y=■（x-m）+n代入b2x2-a2y2=a2b2得：b2（a2n2-b2m2）x2+2b2m（m2b2-n2a2）x-（m2b2-n2a2）2-a4b2n2=0（1），當b2m2-a2m2=0或b2m2-a2n2-a2b2

=0或以或b2m2-a2n2＞0b2m2-a2n2-a2b2＞0時，方程（1）不能有二不等實根，即以P為中點的弦不存在，這時點P在雙曲線和其漸近線（包括雙曲線和漸近線上的點，中心除外）之間。當b2m2-a2n2＞0b2m2-a2n2-a2b2＞0或b2m2-a2n2＜0b2m2-a2n2-a2b2＜0時方程（1）有兩個不同的解，所以以P為中的弦存在，當P點為雙曲線的中心時過P任做一與雙曲線兩支都相交的弦均為以P為中點的弦，這時點P所構(gòu)成的集合是坐標平面內(nèi)除去雙曲線和其漸近線（包括雙曲線和漸近線上的點，中心除外）之間點的所有點的集合。定理1得證。用同樣的方法可以證明：

定理2：對橢圓、拋物線，當點P在它們內(nèi)部時以其為中點的弦存在，當點P在曲線上或曲線外時以P為中點的弦不存在。