民族預科生數學解題中自我監控能力及培養

杜先存　黃　梅　錢立凱

【摘 要】 本文在分析民族預科生在數學解題中存在的主要困難及其原因的基礎上，提出民族預科生數學解題中的自我監控能力的培養策略，認為這些策略將有助于學生變盲目的、機械的學習為策略的、高效的學習，有助于解決數學學科中“教學生學會學習”的問題。

【關鍵詞】 數學解題；民族預科生；自我監控能力；培養

在民族預科生的數學教學中，我們發現有些民族預科生已經具備了必要的數學基礎知識，甚至也掌握一些解題方法，模仿課本和老師的例題也做了不少練習。但遇到新問題時，卻常常不知從何處下手，甚至根本沒有思路，究其原因是多方面的，但我們認為有一條不可忽視的原因，就是不能對自己的解題過程進行有效的自我監控。

所謂數學自我監控能力，是指學生為了保證數學學習的高效和成功，在整個數學學習過程中，將數學學習活動作為意識對象，對其進行積極主動的計劃、檢驗、調節和管理，從而實現自己的學習目標的能力。這種能力主要可以分為三個方面：一是學生對自己數學學習活動的計劃；二是在數學學習活動中進行有意義的檢驗和反饋；三是對自己的數學學習活動進行有意識的調節、矯正和管理。

數學解題的自我監控是指解題者為了保證解題的成功，提高解題效率，而對自己的解題過程及解題中的認知過程進行積極的計劃、檢查、反饋、控制和調節，它可以促使學生激發和保持良好的注意、情緒和動機水平，能指導學生依據不同的解題任務，制定切實可行的解題計劃，選擇恰當的解題方法，并對解題過程進行不斷地反饋、評估、調節，以保證正確的解題方向，從而正確解題。同時還能促進使學生對整個解題作進一步的反思，以吸取經驗，總結教訓，為下一次解題活動作好準備。

數學解題的自我監控在整個解題活動的不同階段具有不同的表現，包括四個方面：第一方面，解題活動前的計劃制定：在解題活動開始前，個人根據問題的要求，在頭腦中構想出多種可能的解決辦法，并估計其有效性，選擇出可能最有效的方法，制定出解決問題的計劃；第二方面，解題活動中的自我監控：在解題的實際進程中，及時監視、評價、反饋解題活動進行的各種情況，一旦發現存在的不足，便及時修正、調整解題策略；第三方面，解題結束前的結果檢查：主要是指解題者根據有效性標準評價各種解題策略的效果，根據問題的具體要求評價解題結果，并正確估計自己是否完成任務，以及完成任務的水平和程度如何；第四方面，解題活動結果檢查后的補救措施：這實際上是解題者根據解題結果的反饋信息從而調整自己行為的過程，解題者對所出現的問題采取相應的補救措施以便彌補失誤。

針對民族預科生在數學解題中的困難——解題方向不明，茫然無措；思路受阻，束手無策；一步不慎，導致錯誤。要改變這種狀況，除了掌握好必要的知識和技能外，更重要的是要加強學生解題全過程的自我監控。解題者及時了解自己的解題過程，自覺地對解題的各階段實行嚴密的監控，有利于克服盲目性，避免誤入歧途，減少失誤。本文主要針對民族預科生在數學解題中的困難，給出一些民族預科生數學解題中自我監控能力的培養策略。這些策略將有助于學生變盲目的、機械的學習為策略的、高效的學習，有助于解決數學學科中“教學生學會學習”的問題。

一、弄清題意，做好審題階段的自我監控

學生在解題前必須理解題目，包括：找出未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？…可見弄清題意是順利解題的第一步。波利亞曾經說過：“回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的，為你所不希望的目標工作是悲哀的。”但尚未弄清題意就匆忙動手解題的人卻不在少數。在教學中，我們發現好多學生不會做的題目，只要我們再讓他多讀一兩遍題目或者問他們“已知是什么？”、“條件用完了沒有？”、“這個題目關鍵要思考哪個條件？”等這些提示語，他們就能把題目解出來了。我們所做的提示恰好是解題者審題階段應注意到的，而且可以獨立做好的。所以解題者審題時不僅僅是瀏覽一下題目，還應該做到“熟悉題目”和“深入理解題目”，能夠指出題目的主要部分，即未知量、已知數據及條件。

二、找出解題方案并執行方案，做好解題活動中的自我監控

在學生弄清題意后，要找出已知數據和未知量之間的關系。如果找不到直接的聯系，不得不去考慮輔助題目，最終得到一個解題方案，然后去執行這個方案。在找解題方案這個環節中，教師要加強解題方法與策略教學。在解題過程中，常用的解題方法及策略有：通過問題找到條件的分析法（也即“執果索因法”）；有直接從條件著手進行推導的綜合法（也叫“由因導果法”）；也可以利用條件和問題進行對比，找出中間所求的量；還有對抽象問題借助輔助線段圖或操作等形式進行形象化的理解策略等等。在教學過程中多運用這些方法與策略，讓學生記住這些常用的方法和策略，同時讓他們知道這些常用的解題方法和策略的優勢和不足，還知道在怎樣的情景與條件下進行運用，有時還可以在同一題目解答過程中靈活地運用多種策略和方法進行解題。在學生執行解題方案時，要求學生檢查每一個步驟。同時教師在黑板上示范解題過程時，就跟學生一起檢查每個步驟。這樣學生養成解題時“解一步檢驗一步”的好習慣。

三、檢查已經得到的解答，做好解題活動結果檢查后的補救措施

在學生執行完解題方案后，就要開始做解題活動結果檢查后的補救措施。在解題獲得結果后進行監控，反饋檢驗結果正確與否，再做出總結與修正。對結果的檢驗方法很多，不同的題型有不同的方法，常用的有以下幾種：一、檢驗答案是否符合題意，這主要是針對解方程、解應用題等；二、檢查自己的解題依據（即數量關系）有沒有找錯，題中的對應量是否找錯；三、把答案代入已知，把其中的一個已知作為未知量來檢驗，主要是針對選擇題和應用題等；四、通過兩種不同的計算方法進行計算，看運算結果是否正確；五、可以代入數字來計算，看是否符合結果；六、選擇、填空題可以代入不同的數字計算即可檢驗結果是否正確；七、可以重新計算一遍看兩次答案是否一致；…教師在教學中要做到“每題一檢”，而且盡量用不同的方法進行檢驗，對各種不同的方法能靈活運用。這樣，一方面增強學生檢驗方法運用方法的靈活性；另一方面，使學生養成解題時檢驗的良好習慣。

四、培養學生養成學習的反思和評價習慣

學生在數學學習活動中往往表現出對基礎知識、基本數學思想不求甚解，熱衷于大量做題，以獲得問題的答案為目標，不會自己提出問題，不懂得對問題進行推廣，不善于或不愿意對自己的解題思路進行檢驗，不對自己的思考過程進行反思，不會分析、評價和判斷自己思考方法的優劣，也不善于找出和糾正錯誤，更缺乏問題后對解題方法、解題中反映出的數學思想方法、特殊問題包含的一般含義的概括，導致出知識系統性弱、結構性差。改變這種現狀，要提高學生的數學自我監控能力，教師要引導學生在概括和反思、檢查及檢驗的技能上下功夫。在問題的解決過程中，教師應該引導學生回顧和整理解題思路；概括解題過程，使解題過程清晰、思維有條理、精確、概括；解題后要引導學生總結思想方法，對解題過程進行檢驗和反思，對具體方法進行抽取出一般的方法；引導學生在解題后對問題的本質進行剖析，抓住問題的實質，啟發學生進行聯想，使學生的抽象能力得到進一步地提高；出現錯誤時，幫助學生從基本思想、基礎知識的角度去剖析產生錯誤的原因，促使學生更加深刻地理解基本知識、基本思想及思想方法，也促使學生的數學監控能力得到提高。同時學生做完題目以后，要求學生對該題進行反思：該題的解題關鍵是什么？有沒有其他解題方法？此題能否改寫成其他形式？能否由該題總結出此類題型的解題方法？此題容易錯的地方在哪里？有與此題相似的題型有嗎？…通過反思幫助學生建立自己的“學習檔案”，其內容主要包括錯題解析、解題心得、章節小結和心得等，這樣不但可以加深學生印象，而且也可以為今后本科以及更高層次的學習提供有益的指導。

數學解題中自我監控能力的培養是一個長期的過程，因而在數學解題教學過程的設計和實施中，有意識、有計劃、有目的地發展學生的解題自我監控能力，對激發學生學習積極性和興趣，發展學生的智力，變被動為主動學習都有很大益處。課堂教學是培養學生數學解題自我監控能力的主要途徑，數學教師一定要在數學課堂教學中培養好學生的數學解題自我監控能力，從而保證學生數學學習的高效和成功。

【參考文獻】

［1］ 〔美〕G．波利亞著怎樣解題．上海：上海科技教育出版社，2007．5．

［2］ 耿紅玲．數學解題自我監控能力的研究．山東師范大學碩士學位論文，2002．

［3］ 倪軍健．復合應用題策略研究．數學教學，2002．8．

【作者簡介】

杜先存（1981-）女，云南鳳慶人，紅河學院教師教育學院教師，講師，碩士研究生，研究方向：課程與教學論（數學）．