一道二次函數(shù)最值題的易錯點簡析

摘要二次函數(shù)學(xué)習(xí)與實際問題聯(lián)系緊密，其中最值問題又是在解決實際問題中最常見的題型。本文通過一道數(shù)學(xué)題，對解答過程中出現(xiàn)的一些易錯點進行簡單陳述。

關(guān)鍵詞二次函數(shù)最值易錯點

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

二次函數(shù)學(xué)習(xí)與實際問題聯(lián)系緊密，其中最值問題又是在解決實際問題中最常見的題型。然而在實際審題的過程中，忽視一些細節(jié)的變化，往往會導(dǎo)致整個解題思路走上“歧途”，叫人惋惜。現(xiàn)就我在教學(xué)中遇到的一道數(shù)學(xué)題，學(xué)生在解答過程中出現(xiàn)的一些易錯點進行簡單陳述，供參考。題目如下:

在兩根高20米(指電線與電線桿連接處到地面的距離為20米)水平距離100米的電線桿間架設(shè)電線，電線懸掛所成的曲線近似地看成與二次函數(shù)y=x2的圖像相同。規(guī)定:在通常情況下電線距地面豎直距離大于16米時視為安全距離。

(1)在水平地面上架設(shè)間距為100米的電線是否符合安全標準，試說明理由;

(2)如果將電線架設(shè)在坡比為1﹕20的斜坡上，水平距離仍為100米，且保持電線懸掛成的曲線與二次函數(shù)y=x2的圖像相同時，是否仍然符合安全標準，請用相關(guān)數(shù)據(jù)來作具體說明。

在本題中，首先是根據(jù)實際需要建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼担褜嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在這里就不再細說了。

在問題1中我們自然而然地想到拋物線的最低點距地面的距離最近，是否安全就看這點到地面的距離大小了。

建立如圖1所示的直角坐標系，由題目已知條件可得:A(0，20)，B(100，20)

圖1

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=x2+bx+20

把B點坐標代入解析式，有20=10+100b+20

b=∴二次函數(shù)的解析式為:y=x2x+20

當(dāng)時，ymin=>16，

因此架設(shè)的電線是符合安全標準的。

在問題2中，同學(xué)們注意到了圖像位置的變化，建立如圖2所示的直角坐標系:

圖2

由已知得，=100∴=5

有:(100，25)，(100，5)

設(shè)二次函數(shù)解析式為:

y=x2+dx+20

把B點坐標代入解析式，有25=10+100d+20d=

∴二次函數(shù)的解析式為:y=x2x+20

學(xué)生往往會受第1題影響，將拋物線的最低點到水平地面的距離求出，如圖3，得出誤論1:

當(dāng)時，=>16(即) E(25，)

圖3

從而得到架設(shè)的電線是安全的。

也有學(xué)生細心觀察，知道在斜坡上，如圖4，有誤論2:

圖4

F在斜坡上，應(yīng)減去的長，

設(shè)OC的直線解析式為:

把C點坐標代入解析式，得到:

有

F點的橫坐標為25(與E點橫坐標相同)，有∴

有這樣的結(jié)論:架設(shè)的電線是安全的。

從本題的最終結(jié)果來看，架設(shè)的電線是安全的，但依據(jù)的數(shù)據(jù)是不可靠的。

那么問題出在哪里呢?我們回過頭來看題目，就會發(fā)現(xiàn)地面由水平變成斜坡的變化中，豎直方向上的(下轉(zhuǎn)第126頁)(上接第113頁)距離最近問題在水平位置和傾斜位置時是不一樣的。分析如下:

如圖5，在水平情況下，我們可以這么看:

把地面所在的直線向上平移，當(dāng)直線與拋物線相切于點E時，其余的點都在這條直線的上方，于是E點所處的位置就是最 低的點，離地面也就最近了。

圖5

如圖6，我們可以從這個角度看問題:

在豎直方向上的直線與拋物線和斜坡所在直線分別相交與H、K，令H的坐標為(x，y1)，K的坐標為(x，y2)，(HK//Y軸，兩點橫坐標相同)由所學(xué)知識我們得知:

其中H點在拋物線

上，有

K點在直線上，有

于是有等式:

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得:當(dāng)時，，即>16，由此可知在斜坡上架設(shè)的電線是安全的。

圖6

通過本題的簡單敘述，只是想讓同學(xué)們在日常作業(yè)和答題中注重對題目深入細致的研究和推敲，理論聯(lián)系實際，多動手動腦，“細節(jié)決定成敗”。