二階常系數線性微分方程周期解的討論

摘要周期解問題是常微分方程中的一個重要問題， 也是人們長期關注的一個焦點問題。 該文研究二階常系數線性微分方程的周期解問題，采用常微分方程中常數變易法具體地討論了它的存在條件及周期解的表達式。

關鍵詞常系數線性微分方程周期解特征方程常數變易法

中圖分類號:O175文獻標識碼:A

1 引言

常微分方程這門學科討論的基本問題是: 研究方程的求解問題和各種屬性。周期解問題是它要研究的一個重要問題。 事實上， 像二階、三階等高階或更復雜的常微分方程周期解的存在性已是微分方程中人們非常關注的問題，多種線性或非線性分析的工具與方法被應用在該問題中， 如Krasnoselskii錐映射不動點定理、二階線性微分方程的限制共振條件、Schauder不動點定理、變換定理等。

本文系統地討論一階線性常微分方程的周期解存在的條件及周期解表達式。

2 主要結果及證明

考慮二階常系數線性微分方程 (1)

的周期解， 其中，為常數，且，為上以為周期的連續函數。

定理設是以為周期的連續函數，則當時， 方程(1)有唯一-周期解。

證對應的齊次方程 (2) 的特征方程為。

(1) 當時， 特征方程的兩個特征根分別為，

則方程(2)的通解為 (3) 、為任意常數。

運用常數變易法， 設(1)的通解為(4)

由方程組

可解出，

此二式中、不同于(3)中、。把，代入(4)， 得(1)的通解為

(5)

則

設，

由于是以為周期的連續函數， 可算得

由，是的根， 知滿足

， 即也是方程(1)的解。

令:， 要使方程(1)的解(5)是周期解， 即滿足， 亦要滿足，而

要使對任意，，由于此時的與線性無關， 則有

也就是， 當且僅當 (6)

(7)

代入解(5)時可得到(1)的唯一周期解。

(2) 當時，特征方程有兩個相等特征根為。

則方程(2)的通解為(8)

、為任意常數。 進而用常數變易法， 設(1)的通解為(9)

由方程組

可解得，

此時、不同于(8)中、。將、代入(9)， 得

(10)

則

由是以為周期的連續函數， 可得

即也是方程(1)的解。

令，要使方程(1)的解(10)是周期解， 即滿足， 亦要滿足， 而

要使對任意，滿足，由于此時的與線性無關， 則有

也就是， 當且僅當 (11)

(12) 代入解(10)時可得(1)的唯一周期解。

注:(a)時，，，其中，。

方程(2)的通解為

再用常數變易法求(1)的解， 得

此時方程是否存在周期解要視具體而定。一般也可根據的具體形式， 用待定系數法討論周期解問題。

(b)對于(1)式中的情況， 當時，，有且僅有一個為零， 從證明過程中顯然可得到方程(1)的周期解不唯一。當時，， (1)的周期解也不唯一。