投影法在力學(xué)中的應(yīng)用

摘要正交分解法是一種很好的解題方法，一切矢量的運(yùn)算都可應(yīng)用正交分解法。應(yīng)用這種方法解題時，要建立二維的直角坐標(biāo)系，每建立一個坐標(biāo)系，一般要列兩個方程，尤其是坐標(biāo)方向的選擇，很多題目使學(xué)生似乎已形成一種習(xí)慣，即習(xí)慣于以水平方向或沿斜面方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系，致使有些題目的解法不夠簡捷。本文刪繁就簡，用投影法來解決這一類問題，可以收到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞物理教學(xué)投影法正交分解法

中圖分類號:G633.7文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

在高中物理的教學(xué)要求中，“力的正交分解法”已不作為教學(xué)要求，但出于解題需要，教師們?nèi)园颜环纸夥ń探o學(xué)生，并用此訓(xùn)練學(xué)生解題，正交分解法仍是處理習(xí)題的一種重要方法。

事實(shí)上，我們在教學(xué)中可采用一種不建立直角坐標(biāo)系，而根據(jù)需要選擇一至兩個投影的方向，把力投影到該方向，用相應(yīng)的規(guī)律列式解題，以這種方法(以下簡稱“投影法”)訓(xùn)練學(xué)生解題，收到了一定效果，下面結(jié)合例題，對“投影法”解題做一簡要的介紹:

用“投影法”解題的主要步驟為:受力分析、運(yùn)動分析、確定投影方向、根據(jù)牛頓第二定律列式求解。

例1 用繩AC和BC吊起一物體，如圖示，物體重G=100N，兩根繩子和豎直線的夾角分別為30€昂?5€埃笊嗀C、BC對物體的拉力。

解析:物體在重力G，繩AC拉力F1，BC拉力F2作用下平衡，取與BC垂直而指向右下方的方向?yàn)橥队罢较?圖中x方向)

此時F1沿該方向的投影為—F1cos(45€啊?0€?

F2沿此方向無投影，G沿該方向投影為G·cos45€?

由平衡條件得G·cos45€啊狥1cos(45€啊?0€?=0

∴F1=G=G=73.2N

同理，取與AC垂直而指向左下方的方向?yàn)橥队罢较颍部汕蟪隼KBC的拉力F2。

若用常規(guī)解法，需取水平和豎直方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，用正交分解法求解，需列兩個方程，然后求解二元方程，既增加了列方程的工作量，又增加了解方程的工作量。

例2 如圖示，質(zhì)量為m的均勻球用線拉住，置于升降機(jī)內(nèi)傾角為的光滑斜面上，線與斜面的夾角為，當(dāng)升降機(jī)以加速度a豎直向上做勻加速直線運(yùn)動時，線對球拉力T和斜面對球的支持力FN各為多少?

解:取沿斜面向上為投影正方向則

∴再取水平向右的方向，為投影正方向

則∴此題若取斜面和垂直斜面方向?yàn)閤和y軸方向，用正交分解法則可得

不過對相當(dāng)一部分學(xué)生來說，由于習(xí)慣沿斜面和垂直斜面建立直角坐標(biāo)，對力進(jìn)行分解，但他們卻不懂還要對加速度的分解，導(dǎo)致錯解。

此題若取水平和豎直方向?yàn)閤和y軸方向，用正交分解法列出的方程是:

雖然學(xué)生極易列出方程，但解出T和N顯然比較麻煩。

從此兩例看出，用“投影法”解題，每列一個方程只需確定一個投影方向(同時把正方向也確定下來)，不必建立二維的直角坐標(biāo)系。且在很多情況下求一個未知量只需列一個方程，如果需要列兩個方程，而選兩個投影方向時，也可根據(jù)題意適當(dāng)選擇，使列、解方程的過程變得簡單。

選擇適當(dāng)?shù)耐队胺较蚴呛喕忸}過程的關(guān)鍵，關(guān)于最佳投影方向的選擇，應(yīng)因題而異，在一般情況下，投影方向的選擇，應(yīng)使據(jù)此列出的方程中未知數(shù)的個數(shù)盡量少，因此，投影方向常選在與題中不要求求解或本步驟不擬求解的未知量(大小未知但方向已知)相垂直的方向上，這樣往往可以簡化解方程的過程。

例3 一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線夾角，一個長的輕繩一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一質(zhì)量為的小物體(物體可看作質(zhì)點(diǎn))，物體以速率繞錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動:

(1)當(dāng)時，求繩對物體的拉力

(2)當(dāng)時，求繩對物體的拉力

解析:當(dāng)較小時，物體與錐體表面接觸

當(dāng)大于某一臨界速率0時，物體離開錐面

當(dāng)=0時，物體與錐面接觸，但錐面對物體的支持力為零。以此時的物體為對象，取與錐面垂直的方向?yàn)橥队胺较颍鐖D所示，則重力沿該方向的投影為，

向心加速度沿該方向的投影為

由牛頓第二定律得:

∴

①當(dāng)時，物體受重力，繩的拉力T和錐體對物體的支持力FN，取繩的拉力方向?yàn)橥队胺较颍瑒t重力沿該方向的投影為，加速度沿該方向投影為sin

由牛頓第二定律:T- cos sin

∴若取水平和豎直方向?yàn)閤、y軸方向，用正交分解法列出的方程是:

需求解方程組才能求得繩的拉力F，很顯然，只要投影方向選擇適當(dāng)，會使求解過程比正交分解法簡捷得多。

第二問、由于，物體與錐面脫離，繩與豎直方向的夾角未知，可分別取水平和豎直方向?yàn)橥队胺较颍闪械梅匠虨?

得T=2mg

從該題中可看出當(dāng)所取的兩個投影方向互相垂直時，投影法也就變成了正交分解法。

投影法，實(shí)際上也是坐標(biāo)系中的一種，是我們研究問題的數(shù)學(xué)手段，“投影法”的指導(dǎo)思想主要是:依據(jù)實(shí)際的物理問題來選恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)，結(jié)合物理規(guī)律列方程求解，即簡明又方便，教給學(xué)生，有助于提高學(xué)生靈活解題的能力。