數學建模思想在“算用結合”課例中的應用

背景分析：《數學課程標準（實驗稿）》指出：“計算應該使學生經歷從現實生活中抽象出數和簡單的數量關系，在具體的情境中理解，并應用所學的知識解決問題的過程，應避免繁雜的運算，避免將運算與應用割裂開來。”為此，我們在教學中應該著力解決以下問題：一是知識從哪里來——讓學生知道為什么要計算（為了解決問題）；二是知識是怎樣的——讓學生結合問題情境理解算理、掌握算法；三是知識到哪里去——讓學生用計算進一步解決問題。解決以上問題的關鍵是怎樣將“算”、“用”有機結合，構建行之有效的“算用互促”的數學模型，使“計算意義”成為“解決問題”的依據，用“解決問題”來解釋“算理”。在實際教學中如果使兩者結合得好，可以提高解決問題的效率。

課例研究：下面以課程標準實驗教材二年級下冊“混合運算”為例，探討怎樣利用數學建模思想有效應用“算用結合”。

教學片段：

一、情境導入，提出問題——為什么要計算（以“用”引“算”）

出示主題圖“過河”：一群小學生上學途中要乘船過河，河邊擺著許多船，每條船限乘9人。現在河邊共有男生29人，女生25人，其中一個男生在想：至少需要幾條船？

師：圖中告訴我們哪些數學信息？

生：河邊有29個男生，25個女生背著書包去上學。

生：河邊有許多小船。小船上寫著“限乘9人”。

師：“限乘9人”是什么意思？

生：就是每條船最多能乘9人。

師：圖中要我們解決什么問題呢？

生：每條船限乘9人，要把這些學生運過河去，需要幾條船？

二、建立模型，解決問題——理解算理、掌握算法（以“用”釋“算”）

師：要求需要幾條船，可以用什么方法來計算？請說出數量關系式。

生：總人數÷每條船限乘的人數=需要船的條數。（提出模型假設）

師：哪個信息還沒有直接告訴我們？怎樣解決？

生：“總人數”還不知道，可以用“男生人數+女生人數=總人數”求出。（利用數學模型解決中間問題）

師：請大家在本子上列出算式計算。

學生獨立列式計算，然后匯報。（利用模型求解）

生：29+25=54（人），54÷9=6（條）。

師：請說說每一步分別解決什么問題？

生：第一步是“男生人數+女生人數=總人數”，第二步是“總人數÷每條船限乘的人數=需要船的條數”。

生：我是先算男生需要幾條船，29÷9=3（條）……2（人），再算女生需要幾條船，25÷9=2（條）……7（人），剩下2+7=9（人），正好需要一條船，所以3+2+1=6（條）。

師：你的想法有創意！

師：請大家將“29+25=54（人），54÷9=6（條）”列出綜合算式。

學生獨立列式，教師巡視，將學生列成的算式寫在黑板上：29+25÷9

師：請各學習小組討論這樣列綜合算式對不對？你能用什么辦法來驗證它是否正確？（讓學生用前面提出的模型假設來驗證運算順序是否正確。）

生：這樣列式是不對的，因為要先算“25÷9”，它是有余數的，和原來的得數不一樣了。

生：前面在分步計算的時候，是先求總人數，然后按照“總人數÷每條船限乘的人數=需要船的條數”來算的，而這樣列綜合算式就不能先求“總人數”了，所以是錯的。

師：那有什么辦法讓綜合算式與分步計算的運算順序一樣呢？

生：要將綜合算式中的“29+25”用小括號括起來。

師：（讓這個學生在板書的算式中添上小括號）小括號有什么作用呢？

生：算式中小括號括起來的部分能夠先算。

師：對，小括號的作用就是能夠先算。請大家再和前面的數量關系對照一下，現在運算順序是否一樣了？（讓學生根據數學模型體驗小括號的作用）

讓學生完整地計算“（29+25）÷9”，并說說它的運算順序。

三、拓展模型，解釋應用——讓計算運用新情境（以“算”促“用”）

1.基本練習（模型應用）

（1）先說說運算順序再計算。5×（36-29）；（83-35）÷6；94-（25+19）。

（2）算一算，比一比。18-9÷3；（18-9）÷3。

（3）列綜合算式計算：三（1）班和三（2）班組成一個方陣參加廣播操比賽，三（1）班有40人，三（2）班有41人，平均排成9行，每行有多少人？

2.變式練習（模型拓展）

（1）歡歡有10支鉛筆，用去4支，剩下的送給2個小朋友，平均每個小朋友能分到幾支？

（2）六（1）班共有學生52人，六（2）班有男生24人，女生25人，六（1）班比六（2）班多幾個學生？

3.提煉概括（模型提升）

師：下面我們來總結解決兩步計算問題的共同特征。（兩步計算問題解決的共同模型及關鍵）

學生先小組討論有哪些共同的特征，然后師生歸納得出：首先根據所要解決的問題列出一個關系式，接著根據關系式尋找所需要的信息，如果某個信息還不知道，要尋找出與它有關的數據，再根據關系式求出這個信息。其關鍵是：先解決中間問題，再解決最后問題，每一步的問題解決都要根據基本數量關系來進行。

解讀：

在以往的教學中，計算和應用問題各自單獨安排，如四則混合運算就純粹地解決運算順序，應用題教學中也沒有學習小括號的任務。本次課程改革對“應用題”動了“大手術”：不再單獨編排“應用題”章節，強調從運算意義出發進行思考，將數學與現實聯系起來，讓學生學習用數學的眼光、數學的思維、數學的方法去認識世界，主動解決所碰到的現實問題。倡導“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的學習模式和“原型——模型——應用”的知識呈現形式。教材之所以這樣改革，是抓住了計算和應用問題之間的內在聯系，使計算的意義成為解決問題的依據，而通過解決問題又可以加深對算理和算法的理解，兩者之間是相互促進的關系，在教學中只有把它們有機結合起來，使它們“水乳相融”而不是“油水分離”。上述教學片段就是基于這樣的思考來開展的，體現了以下特點。

1.在問題情境中計算。以往的計算教學是沒有具體情境的，一般是通過復習舊知導入的。新課程強調計算教學要緊密聯系學生的生活實際，在學生已有的生活經驗基礎上開展教學，能夠激發學生的學習興趣。因此，上述課例創設了學生上學途中乘船的情境，讓學生從情境中發現數學信息，提出數學問題，發展學生收集信息、發現問題的能力。這是數學建模的第一步，即數學建模就是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋、應用現實問題的過程。該課例中的整個計算教學，學生始終在問題情境中提出問題、探索算理、掌握算法，這是計算教學的一大改革。因為學生的計算是在問題情境中進行的，所以這樣的計算不是單純為了完成計算任務，它還有一個重要任務就是為了解決問題而進行計算，因此這樣的情境有“以用引算”的作用。

2.在計算中解決問題。為了解決提出的數學問題，教師引導學生分析數量關系和解題思路，這是提高學生解決問題能力的重要手段。當前，有些教師存在困惑：在解決問題教學中要不要進行數量關系的分析？要回答這個問題，我們首先來分析一下“解決問題”的思維過程，在解決問題中要實現兩個轉化：（1）實際情境→數學問題；（2）數學問題→解決問題。在以往的教學中，第一個轉化由教材編寫者代替了，學生只需解決第二個轉化。有些教師關注了情境的創設，關注了信息的收集，而忽略了數量關系的提煉，形成了“就題論題”現象，學生的每一次活動都只是一個孤立的“個案”，沒有加以必要的“梳理”與“整合”，沒有通過問題情境，探索并構建數學模型，也就難以實現結構化遷移，這樣的教學也不是真正的數學建模學習活動，因為數學模型的核心要素是要用數學語言表述數學結構。因此，教學中應該讓學生根據數量關系和解題思路獨立地解決問題，學生在分步解決中想出了兩種方法，教師及時進行了肯定，使學生體驗到成功的快樂。

3.在解決問題中釋算。在學生完成分步解決的基礎上，教師及時引導學生列綜合算式，此時又創設了一個新的問題情境：沒有小括號的綜合算式和分步的算式不一致。此時，教師引導學生充分利用數量關系和解題思路去驗證綜合算式是否正確，在引出小括號后，又用它們去解釋、體驗小括號的作用，達到了以“用”釋“算”的功效。在解決問題的情境中，學生借助具體的數學模型進行檢驗和解釋，使他們體驗到小括號的引進是解決實際問題的需要，它的運用使原先產生的“矛盾沖突”得到解決，進而感覺到一種和諧美，并對認知活動留下了深刻的印象，體驗到數學學習的價值，學生不僅理解了算理、掌握了算法，還順利完成了解決問題的任務，而且負擔不重，收到了一舉多得的效果。

4.在釋算中提煉升華。當學生得出具體的數學模型后，教學中還安排了拓展應用的環節。首先設計了基本練習（直接計算和用計算解決實際問題）以鞏固和加深對基本模型的理解。接著安排了變式練習，這是對基本模型的拓展，使該計算模型應用到新的情境中去，達到“以算促用”的目的。通過練習，使學生明白對數學模型要進行靈活應用，防止機械套用。最后，對解決兩步計算問題的共同特征進行了提煉概括，引導學生理出解決兩步實際問題的知識鏈，形成認知網絡結構，實現結構化遷移，提高解決數學問題的一般能力。在當前的教學中，不少學生不會分析數量關系，找不到兩步計算的中間問題，講不清解題思路。這些現象都與教師在教學中忽略對解決問題基本方法的提煉和總結有關，而這些基本方法對提高學生的數學思維能力和解決問題能力是很有作用的，它有別于解一定類型題的個別技能技巧，它是一種具有廣泛遷移性的解任何題都需要具備的能力。可見，學生只有積累必要的基本數量結構，弄清數量結構之間的組合特點，才能在獲取信息后形成解題思路，學會解決問題，并把零散的知識匯編成系統的網絡，從而把握“問題解決”學習領域總的結構系統。

作者單位

浙江省武義縣教育局教研室

◇責任編輯：曹文◇