“求簡單的平均數(shù)”教學(xué)片段與解讀

教學(xué)片段一：體驗(yàn)平均數(shù)的含義

師：剛才同學(xué)們通過討論，認(rèn)為用平均數(shù)來比較哪個(gè)隊(duì)的實(shí)力強(qiáng)一些比較公平。那什么是平均數(shù)呢?

生：平均數(shù)就是平均分后的數(shù)。

生：平均數(shù)就是都變得一樣多。

教師演示：將一根透明的塑料管對折后變成兩根，用手捏住對折的地方，然后往塑料管里倒入紅色的水，形成兩根高低不同的水柱。

師：兩根水柱的高度一樣嗎?

生：不一樣，右邊的高一些。

教師繼續(xù)演示：放開捏住的部分，使左右兩邊的水充滿。

師：現(xiàn)在高度一樣了嗎?

生：一樣高了。

師：這個(gè)一樣高的高度就是原來兩個(gè)高度的什么數(shù)?

生：是它們的平均數(shù)。

師：剛才是怎樣使它們變得一樣高的呢?

生：右邊的水流了一部分到左邊，使左右兩邊水的高度變平了。

師：你的意思是把多的移一部分給少的，使兩部分變得一樣多。這種方法我們把它叫做“移多補(bǔ)少”。(板書：移多補(bǔ)少)

師：在移多補(bǔ)少的過程中，水的總量有沒有變?

生：水的總量沒有變。

師：下面我們就用移多補(bǔ)少的方法來求出男女隊(duì)投籃比賽中各自投中籃的平均數(shù)。

學(xué)生用小圓片代替投中的個(gè)數(shù)，進(jìn)行移多補(bǔ)少的操作，操作后并展示交流。

接著教師引導(dǎo)小結(jié)：像這樣把幾個(gè)不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的前提下，通過移多補(bǔ)少使他們變得相等，這個(gè)相等的數(shù)，就是這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。

[解讀]在傳統(tǒng)的平均數(shù)應(yīng)用題教學(xué)中，往往只注重該類應(yīng)用題解題方法的教學(xué)，而忽視了平均數(shù)概念的“意義理解”，學(xué)生多數(shù)時(shí)間花在解題公式的總結(jié)和應(yīng)用練習(xí)上。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出要注重平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的教學(xué)，要讓學(xué)生明白平均數(shù)產(chǎn)生的來龍去脈。為此，教學(xué)中當(dāng)學(xué)生提出要用平均數(shù)來作為評判實(shí)力的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生展開了體驗(yàn)平均數(shù)內(nèi)涵的活動(dòng)：首先，為了了解學(xué)生對平均數(shù)認(rèn)知的真實(shí)起點(diǎn)，教師開門見山問學(xué)生什么是平均數(shù)，由于學(xué)生已學(xué)過除法應(yīng)用題，先前經(jīng)驗(yàn)中已經(jīng)具備了平均分的概念，所以學(xué)生能夠說出：平均數(shù)就是“一樣多”的數(shù)。但先前的除法應(yīng)用題都是將總數(shù)進(jìn)行平均分配的，學(xué)生還不理解一組不等數(shù)據(jù)怎么會(huì)產(chǎn)生平均數(shù)。于是，教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)演示情境：冰從高的地方流到低的地方使兩邊水位一樣高。這個(gè)情境使學(xué)生形象地感知了平均數(shù)產(chǎn)生的過程及意義，明白了可以通過“移多補(bǔ)少”來獲得平均數(shù)。接著讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)物操作，用“移多補(bǔ)少”的方法束求得男女組各自投中籃的平均數(shù)，在動(dòng)手操作中深刻體驗(yàn)“移多補(bǔ)少”的平均化策略。最后，教師作了提煉點(diǎn)化，使學(xué)生完整地認(rèn)識到：一組不相等的數(shù)據(jù)，在總數(shù)不變的前提下，可以通過“移多補(bǔ)少”獲得平均數(shù)。該教學(xué)環(huán)節(jié)的核心任務(wù)是“移多補(bǔ)少”，而“移多補(bǔ)少”在這里有雙重意義，既能使學(xué)生明白平均數(shù)的含義(移多補(bǔ)少后變成每份同樣多的數(shù))，又能使學(xué)生學(xué)到求平均數(shù)的簡單方法(通過移多補(bǔ)少來求得)。

教學(xué)片段二：感悟平均數(shù)的特征

出示各裝有3根小棒的藍(lán)白兩個(gè)紙袋(白袋內(nèi)平均每根長14厘米，藍(lán)袋內(nèi)平均每根長10厘米)。

師：請你猜一猜，如果從兩個(gè)紙袋中各拿出一根小棒，哪個(gè)紙袋拿出的小棒長些?

生：(一致認(rèn)為)白袋的長一些。

師：為什么?

生：因?yàn)榘状鼉?nèi)每根平均長14厘米，而藍(lán)袋內(nèi)平均每根長只有10厘米。

師：下面我們來做個(gè)游戲，請幾位同學(xué)上來，每位同學(xué)從兩袋中各抽出一根來比一比。

生1從白袋中抽出的小棒(15厘米)比從藍(lán)袋中抽出的小棒(9厘米)長；

生2從白袋中抽出的小棒(19厘米)比從藍(lán)袋抽出的小捧(11厘米)長；

生3從白袋中抽出的小棒(8厘米)比從藍(lán)袋中抽出的小棒(10厘米)短。

當(dāng)生3抽出兩根小棒進(jìn)行比較時(shí)，教室里一下子熱鬧起來，全班學(xué)生議論紛紛。

師：(故意露出驚訝的神色)從剛才抽的小棒中我們發(fā)現(xiàn)藍(lán)袋中的小棒不一定都比白袋中的小棒短，怎么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?

教師先讓學(xué)生在小組里討論，然后全班交流。

生：我發(fā)現(xiàn)平均數(shù)長一些，并不是說每一根都長一些。

生：平均長14厘米，不一定每一根小棒都是14厘米，也有可能出現(xiàn)比14厘米短的小棒。

生：平均長10厘米的三根小棒，有可能正好是10厘米，也有可能比10厘米短，還有可能比10厘米長。

生：前面我們已經(jīng)知道，平均數(shù)是指把一些不相等的數(shù)移多補(bǔ)少后變成相同的數(shù)，原來那些數(shù)可能和平均數(shù)相等，也可能比平均數(shù)大，也可能比平均數(shù)小。

師：那么平均數(shù)和原來那些數(shù)相比，處在什么位置?(讓學(xué)生觀察例題的統(tǒng)計(jì)圖)

生：處在中間位置。

生：比最大的數(shù)要小，比最小的數(shù)要大。

[解讀]對于平均數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量意義的理解，既要讓學(xué)生理解它的正向來源(移多補(bǔ)少后變成每份同樣多的數(shù))，又要讓學(xué)生學(xué)會(huì)反向思維——平均數(shù)只是表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，并不代表某個(gè)具體的數(shù)據(jù)，它完全可能受極端數(shù)據(jù)的影響。當(dāng)然，對于三年級學(xué)生來說，不可能從抽象意義上去認(rèn)識這個(gè)特征。于是教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)直觀生動(dòng)的游戲情境，讓學(xué)生在摸小棒比較長短的過程中產(chǎn)生認(rèn)知沖突(受前一環(huán)節(jié)“誰的平均數(shù)大誰的實(shí)力就強(qiáng)”的思維定式影響，學(xué)生往往會(huì)誤認(rèn)為平均數(shù)大就表示每個(gè)具體的數(shù)據(jù)都大)，教師及時(shí)抓住契機(jī)讓學(xué)生展開討論，通過討論，學(xué)生明白了原始數(shù)據(jù)和平均數(shù)相比，有三種可能(大于、小于和等于)。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步讓學(xué)生觀察平均數(shù)在原始數(shù)據(jù)中的位置情況，從而感悟到“平均數(shù)比最大的數(shù)要小，比最小的數(shù)要大，處在中間位置”這一特征。該環(huán)節(jié)的前一環(huán)節(jié)形成了前后互補(bǔ)，前一環(huán)節(jié)中平均數(shù)含義的理解，為本環(huán)節(jié)進(jìn)一步認(rèn)識平均數(shù)的特征奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)，本環(huán)節(jié)又是對前一環(huán)節(jié)的補(bǔ)充，前面學(xué)生認(rèn)識到了要公平地比較兩個(gè)團(tuán)隊(duì)的成績，應(yīng)該用平均數(shù)來衡量，而本環(huán)節(jié)中又讓學(xué)生明白。要比較某些具體數(shù)據(jù)又不能簡單地用平均數(shù)來衡量，因?yàn)槠骄鶖?shù)只是一個(gè)“虛擬數(shù)字”，不能代替某個(gè)具體的數(shù)據(jù)。通過這樣“翻過來覆過去”的建構(gòu)活動(dòng)，使學(xué)生從正反兩方面深刻地理解了平均數(shù)的內(nèi)涵與特征。

教學(xué)片段三：掌握平均數(shù)的算法

師：前面我們用移多補(bǔ)少的方法求得男女隊(duì)各自投中籃的平均數(shù)，知道了女隊(duì)的實(shí)力強(qiáng)一些。如果現(xiàn)在要進(jìn)行班與班之間的對抗比賽，那是要計(jì)算怎樣的平均數(shù)呢?

生：要計(jì)算班級每位學(xué)生投中籃的平均數(shù)。

師：一個(gè)班有五十多名學(xué)生，如果還是用移多補(bǔ)少的方法來獲得平均數(shù)，你感覺怎么樣?

生：那要移很多次了。

生：我們也沒有這么多學(xué)具呀。

生：這么多的人數(shù)不容易看出怎么移。

生：這樣太麻煩了!

師：是啊，移多補(bǔ)少的方法在數(shù)據(jù)較小或數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)比較少時(shí)，還是挺管用的。但是當(dāng)一組數(shù)據(jù)比較大，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)又比較多的時(shí)候，這種方法就有局限性了。看來，我們需要探索一種更加通用的計(jì)算方法。

讓學(xué)生以小組為單位，討論計(jì)算方法：(1)平均分是怎樣分的?平均分時(shí)需要知道哪兩個(gè)條件?(2)哪個(gè)條件已經(jīng)知道了?哪個(gè)條件還不知道?(3)怎樣求平均數(shù)?

討論后交流：

生：可以把每個(gè)數(shù)據(jù)合并起來重新一個(gè)一個(gè)均勻地分。(教師用電腦動(dòng)態(tài)演示：將例題統(tǒng)計(jì)圖中的各個(gè)數(shù)據(jù)打亂合并，再一個(gè)一個(gè)重新均分。)

師：把各個(gè)數(shù)量合并起來的數(shù)，我們把它稱作什么?

生：總數(shù)量。

師：平均分成幾份，我們把它稱作什么?

生：份數(shù)。

師：那怎樣求平均數(shù)呢?

生：總數(shù)量÷份數(shù)=平均數(shù)。

師：看來求平均數(shù)可以用公式來計(jì)算，計(jì)算時(shí)必須要知道哪兩個(gè)條件?先求哪個(gè)條件?

生：必須知道總數(shù)量和份數(shù)，先要求出總數(shù)量。

讓學(xué)生用公式計(jì)算例題中的平均數(shù)，完成后做書上的練習(xí)題，以鞏固公式計(jì)算法。

[解讀]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)注重學(xué)生對平均數(shù)統(tǒng)計(jì)量意義的理解，但并不是說就不重視計(jì)算方法，而是要讓學(xué)生在理解意義的基礎(chǔ)上自然總結(jié)出計(jì)算公式，即讓學(xué)生體會(huì)計(jì)算公式的必要性，根據(jù)平均數(shù)的含義探索出計(jì)算公式模型，并能熟練地進(jìn)行解釋與應(yīng)用。基于這一理念，教學(xué)中首先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)情境：將例題進(jìn)行拓展，使數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)大大增加，讓學(xué)生感受到移多補(bǔ)少這種方法的局限性。進(jìn)而產(chǎn)生探索計(jì)算方法的欲望。在此基礎(chǔ)上，教師引領(lǐng)學(xué)生開展探索計(jì)算方法的活動(dòng)，先讓學(xué)生在小組里圍繞問題展開討論，然后進(jìn)行匯報(bào)交流，學(xué)生邊匯報(bào)。教師邊利用多媒體課件動(dòng)態(tài)演示思考過程，使學(xué)生直觀生動(dòng)地理解算理，在理解算理基礎(chǔ)上建構(gòu)求平均數(shù)的公式模型，并對例題與練習(xí)題進(jìn)行解釋與應(yīng)用。這樣的建構(gòu)過程，著眼意義、注重探索，學(xué)生在充分理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，水到渠成、瓜熟蒂落!