“３的倍數的特征”教法評述與對比分析

張修霞，山東省日照市莒縣第一實驗小學教師，市級數學骨干教師，縣級數學學科帶頭人。在《現代教育通訊》、《日照教研》等教育刊物上發表論文10余篇。指導并參與省級數學實驗課題“小學生數學小課題實驗研究”活動，該項實驗榮獲省、市級優秀成果獎。多次參與《教師教學用書》及教輔《小學數學伴你學》的編寫。

教學感言：作為一名小學教師，把一生從教的滿腔熱情化為熱愛學生的一團火，將自己最真摯的愛奉獻給學生，用行動譜寫人生絢麗的篇章。

在數學教學中，教師不能被某些“偶然巧合”的現象所迷惑，而應透過表象看到問題的本質，抓住問題的核心，科學引導學生進行合理有效的猜想、判斷及推理，進而發現蘊含于其中的必然的數學規律和思想，實現培養有開拓意識和創新能力的學生之目的。

教學“3的倍數的特征”，其方法特別，意義重要。本文擬對其兩種方法進行評述，并加以對比分析。

教學內容，參見《數學》(人教版 課標教材)五年級下冊第19頁。教學方法評述如下：

方法(一)

教材第19頁主題情境圖中，教師提出：“我們知道了2和5的倍數的特征，那么3的倍數有什么特征呢?”

圖中，右邊的男同學在想：“3的倍數的個位上的數是不是3的倍數呢?”結果他發現：“3，6，9是3的倍數，但12，15，18個位上的數就不是3的倍數?！?/p>

圖中間的女同學提出：“先把3的倍數找出來：3、6、9、12、15、18、21……”

圖中，左邊的男同學發現：“12個位上的數不是3的倍數，但1+2=3，3是3的倍數。”

圖中，右下方的“小精靈”提示：“把3的倍數的各位上的數相加，看看你有什么發現?！?/p>

最后，教材直接給出結論：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

方法(一)的研究過程，主要是通過情境圖中幾個人物對話的形式進行的，最后給出正確的結論。盡管其過程非常簡潔、明了，但在實際教學中，我們還是遇到過一些實際而現實的問題。

首先，學生受到研究2、5倍數的特征，只看個位的遷移作用，只看其個位上的數字，不過學生馬上就會發現，這種思路再也行不通了，因為像30、21、12、33、24、15、36、27、18、39，這些數都是3的倍數，它們的個位上從0~9這十種情況都存在。那么到底該如何研究“3的倍數的特征”呢?如果不是圖中“小精靈”的提示：“把3的倍數的各位上的數相加，看看你有什么發現”，學生很難想到用這種辦法。有的學生問，為什么要這樣加起來?道理是什么?教材中未說明，難怪學生不明白為什么要這樣做。

其次，憑“3的倍數，它的各位上的數字之和，恰好又是3的倍數”這種“巧合”現象得出的結論中，“一個數的各位上的數的和是3的倍數”與“這個數就是3的倍數”之間沒有必然的聯系，缺乏嚴密的數學推理和論證，學生對“結論”正確性的可信度產生了懷疑，這一點，是方法(一)最大的不足之處。學生曾舉例如下：

10×7=70 7+0=7

11×7=77 7+7=14

19×7=133 1+3+3=7

20×7=140 1+4+0=5

70、77、133都是7的倍數，它們每個數各位上的數字之和，正好也是7的倍數。據此推斷，“結論”也適用于“7的倍數的特征”。然而，20×7=140，140的各位上的數字之和是5，不是7的倍數，顯然，前三個是“巧合”罷了。學生們舉此例，說明方法(一)的研究過程，給學生造成了一種“巧合”的假象。鑒于此，我們在教學中，又補充了方法(二)，以彌補方法(一)的不足之處，很受學生歡迎。

方法(二)

這是我們多次嘗試過的方法，主要借助簡單、直觀的“抽”小棒的游戲，讓學生明白一個很深刻的道理?！咀ⅲ悍椒?二)中創設的情境，其現實意義不大，但它可以幫助學生進行合理、嚴密的數學推理。我們所用的教具，只是兩捆小棒而已】

教師畫出圖1，問學生：認識這個圖嗎?(學生都認識，是三條腿的圓桌)

師(很高興地介紹)：三條腿的圓桌，有一個很大的特點，一放下，就很平穩，不晃動。所以，攝像機的支架、地質測量儀的支架等，都是利用了這個特點，做成三條腿的。

師：現在用這1捆小棒(10根)代表10根木棒，用它來做三條腿的圓桌腿，最后還剩下幾根?(學生脫口而出：還剩1根)

師：要想不剩余，怎么辦?

生：從1捆(10根)中，先拿出1根來就可以了。

老師特別強調，“大家看好了!”說著，“嗖——”地抽出了1根。這個過程如下圖所示。

師：這樣抽出1根，結果怎么樣?

生：1捆10根，抽出1根，還有9根。9÷3=3，正好夠做三張圓桌的腿，不會有剩余了。

師：現在有2捆，怎么抽呢?生：2捆就抽出2根，如下圖所示。

師：請把這個過程用數學式子記錄下來。[學生嘗試記錄]

10+10=9+9+ 1 + 1

即20=9×2+ 2

師：看著20=9×2+2，說一說，這樣“抽”，達到了一個什么目的?

生：從20根中抽出2根，還有(9×2)根，正好是9的倍數，也一定是3的倍數。這樣制作三條腿的桌子，桌腿不會有剩余了。

師：假如一捆是100根，怎么“抽”呢?

生：100根抽1根。

師：假如200根、500根呢?

生：200根就抽2根，500根就抽5根。

師：這樣抽的過程記錄為：

100=99×1+1

200=99×2+2

500=99×5+5

它們的結果中99×1，99×2，99×5都是9的倍數，當然也一定是3的倍數。這個抽小棒的游戲，能幫助我們理解一個很深刻的數學道理。

【簡評：以上“抽”小棒的游戲，簡單有趣。抽棒的原則是，幾十根就抽幾根；幾百根也抽幾根；幾千根也抽幾根……有了這樣的基礎，下面的論證分析就變得游刃有余了】

師：假若一車運來528根木棒，用來做三條腿的圓桌腿，要使木棒不剩余，請你仔細想一想，應該怎么“抽”呢?

生：528由5個百、2個十和8個一組成，即528=500+20+8。500根抽5根，20根抽2根，個位上的8根全抽掉。

師：這樣“抽”的結果是怎樣的?達到了什么樣的目的?

生：528=500+20+8=99×5+ 5 +9×2+ 2 + 8

即528=(99×5+9×2)+ 5+2+8

至此，道理已明。“528”分成了兩部分，第一部分(99×5+9×2)是9的倍數，也一定是3的倍數。那么“528”是不是3的倍數，就決定于第二部分 5+2+8，它的和15，是3的倍數，這個一眼就可以看出，所以，“528”一定是3的倍數。

通過以上過程的教學，讓學生領悟和發現，“528”是3的倍數，與5+2+8的和15，是3的倍數，具有必然性和充分性的關系，這樣對“結論”的正確性就有了進一步的認識和深刻理解。

對比分析

1.所得結論相同。兩種方法的研究，最終所得出的“結論”是一致的，這是它們的相同之處。

2.研究思路不同。研究思路的不同，是兩種方法最根本的區別。方法(一)從“數”的外部特征入手，得出結論，從這種意義上講，可以稱之為“外求法”；方法(二)從“數”的內在規律入手，得到結論，從這種意義上講，可以稱之為“內求法”。

3.教學效果不同?！稊祵W課標》要求，讓學生“體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性?！痹隗w現《數學課標》這一思想、達到《數學課標》這一要求方面，方法(二)要比方法(一)優越得多!方法(二)更能取得較好的教學效果，這是不言而喻的。