AI時代，對數學教育底層邏輯的叫問

一、引言

人工智能（ArtificialIntelligence，簡稱AI，是一種模擬人類智能的技術，旨在讓機器能夠像人類一樣思考、學習和解決問題。AI時代，數學教育將會產生哪些顛覆性的變化？

當前，人們已經發現，生成式AI催生的“反推式學習\"可以幫助教師認識數學推理過程，精準識別認知困難。傳統數學教育中機械的“應試刷題\"模式將被動態的、高效的“意

義建構\"模式取代。

符號計算系統（如Mathematica）和幾何可視化平臺（如GeoGebraAI，將人們從煩瑣的計算訓練中解救出來，轉向高階的“概念建構\"“策略分析”。數學學習正在由“已知 $$ 求解\"的解題模式轉向“猜想 $$ 驗證 $$ 發現”的探究模式。數學教育正在從傳統的“培養重復過去的人才\"轉向AI時代的“培養創造未來的人才”—既能駕馭具有強大算力的AI系統，又能保持人類獨有的概念創新

能力。

智能教育系統打破了40分鐘課堂的時空禁錮，許多由強化學習驅動的個性化學習的路徑、資源打破了傳統數學教育中的壁壘，重構了數學教育的公平性。

腦機接口時代的到來，教師角色需要真正地實現轉變，數學教育必將成為連接生物智能與機器智能的橋梁。

關于信息技術和數學教育的關系，不要為了信息技術而信息技術，而要凸顯信息技術為數學教育服務的本質定位。建議把“信息技術理念\"作為基礎教育數學課程理念之一，即以增強有效地利用信息技術學習數學的意識為根本，提供信息技術支持下豐富的學習資源和教學資源，倡導基于信息技術的概念理解、原理運用、問題解決的創新教學活動，提高學生對數學的學習興趣，促進學生對數學的深刻理解。]

目前，AI技術模型主要有美國OpenAI的ChatGPT、Google的Gemini和中國MoonshotAI的Kimi、百度的文心一言、字節跳動的豆包，以及2025年初橫空出世、震撼全球的DeepSeek。DeepSeek-R1模型因極低的訓練成本、面向全球的開源做法和強悍的功能而獨領風騷，這完全歸功于其算法的創新。而算法的靈魂是數學，這應驗了“得數學者得天下\"的真理。

不管是什么模型，要解決AI在數學教育領域可賦何能、如何賦能的問題，必須回歸數學教育的底層邏輯。數學教育的底層邏輯是，數學教育的實踐和研究要體現數學學科特色，必須先構建與時俱進的、科學的數學教育理論基礎。下面，從數學教育的邏輯起點、數學學科的本質、數學教育的終極目標、數學素養及其操作性定義、數學教學的“專業標準\"這五個角度，具體回答數學教育的底層邏輯問題。

二、數學教育的邏輯起點是什么

德國學者H.Bauersfeld教授在第三屆國際數學教育大會（ICME-3，1976)上描述了數學教育的三個研究對象：課程、教學、學習。后來，美國學者湯姆·凱倫（TomKieren）教授在《數學教育研究：三角形》一文中將這三個研究對象比喻為三角形的三個頂點，分別對應課程設計者、教師和學生。他認為，有關備課、教學和分析課堂活動的研究以及教學實驗和定向的現象觀察都屬于這個三角形的“內部”，數學、心理學、哲學、技術手段、符號和語言等都屬于這個三角形的“外部”。由此，誕生了“數學教育三論”：數學課程論、數學教學論、數學學習論。

為了解決學生難以接受抽象的科學數學這一問題，張景中院士提出了“改造數學，使之更適宜于教學和學習\"的教育數學理念[2]：“教育數學就是為了幫助學生理解科學數學而改造的數學。\"[3]張奠宙先生也曾表達過類似的觀點：“數學教師要善于將知識的學術形態轉化為教育形態。\"[4]

數學教育的邏輯起點是教育數學，立足點是學生學習數學的心理過程，宗旨是通過學與教和技術的統一，使學生重構教育數學，形成良好的數學認知結構（或稱之為數學素養系統)。

三、數學學科的本質是什么

數學不是社會科學，這是人們已經達成的共識。數學是自然科學嗎？在很長一段時間內，人們把數學默認為自然科學。這種看法正確嗎？數學學科的本質是什么？

中華人民共和國成立以來，基礎教育數學課程標準(教學大綱)普遍認為：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。\"這一界定源自恩格斯的觀點：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。\"[5]同時，數學教育界流行的數學的三大特點是：高度的抽象性、嚴密的邏輯性、廣泛的應用性。這一說法源自俄羅斯數學家亞歷山大洛夫，他在《數學：它的內容、方法和意義》一書的第一章《數學概觀》中討論了數學的四大特點：抽象性、邏輯的嚴格性、結論的精確性、應用的廣泛性。由此，可以提出問題：數學只研究數量關系和空間形式嗎？“三大特點\"真的是數學的本質特點嗎？迄今為止，人們對數學這門學科都有哪些看法？它們對學數學、教數學、研究數學有什么促進作用？

以上問題是AI賦能數學教育必須首先回答清楚的問題，否則，對解決數學教育教學問題毫無幫助。

要搞清楚數學學科的本質，就要從數學的研究對象、數學獨有的特點、數學的價值、數學的靈魂等方面去思考。筆者認為：數學研究數量關系、空間形式、模式結構，數學是研究無限的科學；數學追求精確、嚴謹、簡潔、概括、聯系、統一；數學的地位至高無上；數學的價值在于數學就是財富；數學的靈魂在于大道至簡，駕馭無窮。7]

四、數學教育的終極目標是什么

談到數學教育的終極目標，目前我國最流行的答案是：提高學生的數學核心素養。這個答案似乎沒有問題，但其格局、高度、深度仍然不夠。

數學教育的首要目標是為國家、為社會、為人民培養更多全面發展的人。為此，數學教師首先要學習掌握“全面發展的人”的標準——參照《中國學生發展核心素養》總體框架[8。學生發展核心素養是學生在接受相應學段教育的過程中逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。它是所有學生應具有的最關鍵、最必要的基礎素養，是知識、能力和情感等的綜合表現，可通過接受教育形成和發展，兼具個人價值和社會價值。

數學教育的第二目標是提高學生的數學素養。目前，歐盟、經合組織、聯合國教科文組織等組織，英國、法國、匈牙利、日本、新加坡、加拿大、澳大利亞、新西蘭等國家，香港、臺灣等地區都把“數學素養\"列為學生發展核心素養的指標之一[9]

概言之，數學教育的終極目標，就是學生在教師的引導下能動地建構數學素養系統，并發展其核心素養，成為社會需要的“全面發展的人\"的過程。

五、數學素養及其操作性定義是什么

根據學生發展核心素養的內涵與特征，數學素養是滿足學生自身發展和社會發展必備的數學方面的品格和能力，是數學的知識、能力和情感等的綜合體。筆者認為，數學素養的行為表現包括理解基本的數學概念和原理、具備一定的運算和推理能力、會用數學語言來表達和交流、能用數學知識解決問題、逐步形成良好的數學情感態度和價值觀。10]數學素養由低到高可以分為如下八個層次[1]：

（一）數學知識、技能和理解

包括四類：一是數學概念、數學原理（正確的數學命題，包括數學定理、公式、性質、法則等）、基本的事實結論，即用于回答“是什么\"問題的陳述性知識，屬于言語信息（人們戲稱的\"語文老師教的數學”——會說、會背、不會用、不理解);二是涉及數學概念、數學原理、基本的事實結論的運用，即用于回答“做什么\"問題的程序性知識，屬于認知技能；三是數學操作性技能，屬于動作技能；四是數學理解的內容。

數學理解的內容，心理學上叫作認知圖式，即認知者對數學內容的看法的集合。數學理解可以分成個人理解與社會理解（當前社會能達到的理解)，社會理解由正確的個人理解組成?？坍嫈祵W理解水平高低的標準是：看法是否多樣，看法是否準確，看法是否深刻。例如，對無理數概念的理解，筆者要求數學師范生具備如下看法：（1)開不盡的數，如 、 ；（2）負無理數，如 、 ；（3）超越數，如 π，e，lg2 ；（4）無限不循環小數，如4.12112111211112…；（5）無限連分數；（6）絕大多數的三角函數值；（7）非有理數之實數；（8）不能寫成兩個整數之比；（9）某個滿足柯西收斂條件的有理數列的極限；（10）比有理數多得多。

（二）數學能力

這一層次的關鍵能力包括數學化、數學運算、數學推理、空間觀念、數據分析、數學應用、數學創新、數學學習能力。

（三）數學問題解決

問題解決（problemsolving），通俗地說，就是解決自己沒有解決過的問題，甚至是人類目前尚未解決的問題。數學問題解決包括兩種：一是解決純數學世界中的問題，二是解決自然科學和社會科學這兩個真實世界中的問題。數學建模主要用于后者。

（四）數學思維及其品質

數學思維是以數學對象（數量關系、空間形式、模式結構)為思維對象，以數學語言為思維載體，并以認識、揭示數學本質規律和解決問題為目的一種思維。數學思維主要包括數學邏輯思維和數學形象思維。數學思維品質主要表現在六個方面：廣闊性、深刻性、靈活性、獨創性、批判性和嚴謹性。

（五）數學思想

包括形式化（數學表示)思想、化歸思想、分類討論思想、數形結合思想、方程思想、函數思想、一般化思想、特殊化思想、建模思想、統計推斷思想、隨機思想、微積分思想、公理化思想，等等。

（六）數學眼光[12]

數學眼光，是觀察數學世界和真實世界的一種意識和習慣，即在思考問題時關注數學方面的自覺意識和習慣。它包括：數學科學視角下精確的眼光、嚴謹的眼光、簡潔的眼光、概括的眼光、聯系的眼光、統一的眼光；數學化視角下理想化的眼光（將實體簡化假設為幾何模式或代數模式。比如，將真實世界中的哥尼斯堡七橋問題理想化為平面上的“一筆畫\"問題）、共性化的眼光（對共同屬性的敏感、直覺和發現，通俗地說，即“事不過三\"的意識。比如，觀察數學世界中自然數的加法、偶數的分拆，發現加法交換律、哥德巴赫猜想)；意識視角下的數學眼光，即數的意識、符號的意識、空間觀念、數據分析的意識、數學應用的意識。

（七）數學情感態度和價值觀

包括對數學具體內容的喜好感受、數學興趣、數學信念、數學價值觀（數學的立德樹人功能)。數學的立德樹人功能主要表現在：（1）有助于學生形成認真、嚴謹、獨立思考的習慣，具有尊重事實的科學態度和質疑求真的科學精神；(2）提升學生的數學素養，促進其實踐能力和創新意識的發展；（3）有助于養成科學的數學價值觀— ① 數學是精確的、嚴謹的、簡潔的、概括的、聯系的、統一的，數學是駕馭自然科學和社會科學的“神一般的\"學科； ② 數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發展的基礎； ③ 數學是技術，是生產力，數學就是財富； ④ 數學是思維的體操，它在提高人的推理能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用； ⑤ 數學是人類的一種文化，其內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分； ⑥ 數學的真理性教育人們尊重事實、服從真理，數學的精確性使人明辨差異、掌控細節、精力集中、認真負責，數學的嚴謹性使人思維填密、表達有條理、辦事有條不紊，數學的概括性使人做到以有限駕馭無限，數學的簡潔性和統一性助人化繁為簡，數學的挑戰性使人堅韌不拔、腳踏實地、勇敢進取。

（八）數學靈魂

數學是研究無限的科學。但是，人的生命有限，無法窮盡所有。那么，如何把無限轉化為有限呢？答案就是靠數學的靈魂主線：追求簡單化，得到不變性，最終實現用有限駕馭無限（以不變應萬變）。

數學素養的這八個層次，為數學學習論、教學論、課程論的研究提供了理論框架

六、數學教學的“專業標準”是什么

數學教學存在四大問題：例題習題分不清，學生參與成空談；方法先行失創新，問題解決難實行；標準缺失生亂象，數學本質未揭示；不良觀點引誤解，數學素養難實現。13]從根本上看，這些都是“教算術”（重工具性理解，輕關系性理解)而不“教數學\"（以理解為價值取向，既要教工具性理解，更要教關系性理解，致力于提高學生的數學素養)[14]的問題。因此，和非數學的教育相比，數學教育一直沒有解決好學生負面看待數學的問題：數學是“傷害\"學生最多的學科，是被學生誤解而要取消的學科。對此，筆者認為，數學教學應該有如下“專業標準”：

（一）數學教學設計的“專業標準”

如何分析教材？如何分析學情？如何制定教學目標？如何設計教學過程？分析教材要抓縱橫聯系與地位作用；分析學情要抓認知基礎與認知困難；制定目標要依據“數學素養八層次模型”；設計過程要根據內容（概念、原理、問題解決[15]）、學情、目標、教法。[16]

（二）數學情境創設的“專業標準”

數學情境是為了促成數學化而設置的鋪墊。實現“水平數學化”，需要創設聯系生產、生活實際的真實情境；促進“垂直數學化”，則可以用較低層次的數學內容來創設情境，讓學生理解、得出更高層次的數學內容。

（三）激發數學興趣的“專業標準”[17]

數學是思維的科學，是形式化的科學，與自然科學和社會科學相比，難以引發學生的共情，難以吸引學生的興趣。

對此，數學教學要致力于學生的理解。這樣，才能讓學生感受到“數學本身的樂趣”——這是一種理趣。數學教學尤其要圍繞數學的“精確、嚴謹、簡潔、概括、聯系、統一\"六大本質特點來展開，要把“追求簡單化，得到不變性\"這一數學的靈魂貫穿始終。如此，就能實現用有限駕馭無限（以不變應方變)，就可讓人省時、省力、省心，從而創造出財富價值。

數學的不變性主要分為三類：一是共同屬性，數學概念由此產生；二是不變的規律、關系，數學原理應運而生；三是問題解決的思維方法。

求解題或證明題解決的本質是尋求條件與目標之間的邏輯聯系。為此，一要學會“順推”—由因導果，追尋必要條件；二要學會“逆推”— 執果索因，追尋充分條件；三更要學會將“順推\"與“逆推\"統籌考慮，上下緊逼，前后夾攻，使思路貫通。

破解難題靠的是“化歸”。化歸是數學家處理問題的思維方法：把要解決的問題轉化歸結為已經解決或容易解決的問題，并最終獲得原問題的答案。

此外，必經實施以激勵為最終目標的數學測評，做實分層教學、分層作業、分層考試。嚴格執行教育部《關于推進中小學教育質量綜合評價改革的意見》的規定：不得組織面向全體學生的縣級及以上統考統測。

數學是冰冷的，需要老師用火熱的激情去點燃學生心中的熊熊烈火。因此，要贊美學生，不要有意無意地打擊、傷害學生。要呵護學生那易碎的數學玻璃心，幫助學生樹立學習數學的自信。

七、結語

對于AI在數學教育領域可賦何能、如何賦能，可以從上述數學教育的邏輯起點、數學學科的本質、數學教育的終極目標、數學素養及其操作性定義、數學教學的“專業標準”等方面（還應包括數學命題系統的構建[18]，本文不再贅述)實施和研究，這是各種AI大模型和數學教育工作者都必須遵守的底層邏輯。

另外，還要解決我們中小學數學教育的短板：只關注數學概念、原理的操作性運用，忽視了數學聯系統一的模式結構和數學的無限性。我們不強調代數字母之間、代數式與數之間、變量(未知數)與常數(已知數)之間的結構等價性，不關注運算的不變性、無限數集本身的不變性、不同數集之間的不變性，沒有把所有的運算統一為一個模式結構，拋棄了解析幾何的核心一—曲線與方程的充要條件。我們忽視了數學概念外延的無限性和數學原理適用的無限性一—用一個有限的定義模式和原理模式可以駕馭無窮的具體。我們丟掉了用有限駕馭無限的利器 —數學歸納法。

AI能賦予數學教育的主要功能有：（1）識別評價學習者的認知基礎和認知困難，實現以激勵為最終目標的數學測評，做實分層教學、分層作業、分層評價；（2）為學習者提供體現數學本質特點和靈魂的教育數學課程；（3）幫助學習者構建數學素養系統（例如，學習、掌握三種數學的不變性，通過探究發現數學的不變性而實現數學創造，推動數學的發展)；（4）培訓教師掌握數學教學的“專業標準”；（5）開發具備數學教育底層邏輯，符合B.F.Skinner程序教學原則的數學學與教的人機系統，比如南非的MathsGee平臺和美國Mathleaks公司的MathVizy平臺，已經初步具備了認知診斷、互動學習、自動評分、個性化學習的特點。

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[15]何小亞.數學學與教的心理學（第二版)[M].廣州：華南理工大學出版社，2016：164-228.

[16]何小亞，姚靜.中學數學教學設計（第三版)M].北京：科學出版社，2020：1-35.

[18]何小亞，張艷虹，羅靜，等.高考數學命題系統的構建與運用J」.中學數學研究（華南師范大學版)，2023(23)：1-8十53.

（何小亞，華南師范大學數學科學學院，教授。教育部“國培計劃”專家庫首批專家，教育部考試中心重大項目“高考評價體系研究\"項目組專家，全國教育專業學位研究生教育指導委員會理科專家，全國教育碩士優秀教師。參與完成國家級、省級教育科研項目12項，在國內外刊物上發表學術論文百余篇，出版或參與出版著作24部。承擔教育部重大課題攻關項目“我國高中階段學生核心素養的模型及指標體系研究”。主編的《中學數學教學設計》一書入選教育部本科國家級教材。）