淺談函數在高中數學中的應用

在初中教材中，對一次、二次、反比例函數進行了學習，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部分內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，要對他們的基本概念和基本性質（圖像以及單調性、奇偶性、周期性）靈活應用，不但要對二次函數再深入學習，而且還要研究指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等。顯然函數是高中數學的一個重要內容。函數的思想也貫穿了整個高中，具有極其廣泛的應用價值。下面主要就高中數學常遇的幾個方面入手，談談函數在高中數學中的一些應用。

一、進一步深入理解函數的概念

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后又重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數----二次函數為例來重新認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為f（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生應用所學知識進一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）

這里我們可理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ：設f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）" 配湊法：f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6

（2） 換元法：令t=x+1，則x=t-1" ∴f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6從而f（x）= x2－6x+6

二、進一步深入領悟函數的思想方法

函數的思想方法就是按照RMI原則，把一個數學問題轉化為一個函數問題，并利用函數的性質研究、解決問題的一種解題思想方法。它的具體思維模式可用下表刻畫：

函數思想的最大的特點就是從變化、動態的觀點來認識數學對象和它們的性質之間的關系，這能夠更全面、深入地認識事物的本質，因此這種思想方法適應性廣，可適用于數學的各分支，此類方法的一般步驟是：1、尋找等量關系求函數關系，2、尋找限制條件求定義域，3、由函數性質解決相應問題。

下面探討一下函數思想方法在以下幾個方面的應用：

1、在比較大小中的應用

對一些具備某種相同結構的數值進行大小比較，可通過構造函數，當作函數值并利用函數的單調性來比較大小。

例1、設 ， ， ，試比較 ， ， 的大小。

思路分析：設 ，利用導數可求 ， 單調遞增； ， 單調遞減。

因為 ， ， ，

所以 最大，又因為 ， ，所以 ， 所以

2、在最值（范圍）問題的應用

此類題求解的基本方法是用函數來解決。

例2、在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知（a＋b）（b－a）＝ab，且cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C." " "（1）證明：△ABC是直角三角形；" " " "（2）求 的取值范圍.

思路分析：（1）（略）（2）由（1）知B＝ ，所以sin C＝sin（ －A）＝cos A.

所以 ＝ ＝sin A＋cos A＝ sin（A＋ ）.

因為c＜b，所以ac＜ab＝c2，所以a＜c，" "所以0＜A＜ ，所以 ＜A＋ ＜ ，

所以1＜ sin（A＋ ）＜ ，" " "即 ＝ ＋1∈（2，1＋ ）.

3、在方程問題中的應用

函數與方程有密切的聯系，可以說方程是函數的一個局部，而函數則包括方程的全部內涵，因此用函數的思想方法解決方程問題往往是一種很有效的方法。

例3、方程2x＋3x＝k的解在[1，2）內，則k的取值范圍為" " .

思路分析：令函數f（x）＝2x＋3x－k，則f（x）在R上是增函數.當方程2x＋3x＝k的解在（1，2）內時，f（1）·f（2）＜0，解得5＜k＜10.當f（1）＝0時，k＝5.綜上，k的取值范圍為[5，10）.

4、在不等式問題中的應用

由于函數反映變量之間的相互關系，由它的整體性，自然可反映變量間的不等情況，因此，不等問題可看成函數問題的另一個局部。利用函數思想方法，能更深入了解不等式問題的本質。

例4、若不等式ax2－x＋agt;0對任意的x∈（1，＋∞）恒成立，則實數a的取值范圍為________．

思路分析：當a＝0時，原不等式可化為xlt;0，易知不合題意；

當a≠0時，令f （x）＝ax2－x＋a，要滿足題意，需" "或

解得a≥ ，所以實數a的取值范圍是 .

函數的內容涉及很廣，當問題中涉及的一些關鍵量為變動的量時，往往轉化為函數問題求解.如求某量的最值、范圍問題等.此類題有意識地凸顯其函數關系，進而用函數思想及函數方法研究、解決問題，不僅能獲得簡便的解法，而且能促進科學思維的培養，提高發散思維的水平.