不等式在函數問題中的應用例析

不等式是高中數學的基礎內容，在其他模塊的學習以及實際問題處理中有著廣泛應用，貫穿高中數學學習的始終.本文對不等式及其性質在函數問題中的應用進行探究.

1求函數的定義域

在求函數的定義域問題中，若函數解析式中含有分式，則分母不等于0；若函數解析式中含有對數式，則對數的真數大于0；若函數解析式中含有偶次根式，則根式內非負，這些均與不等式有關.

例1 函數 的定義域為

欲使函數 f（x） 有意義，則 {xgt;0， ，解得0

本題所給的函數解析式中既含有對數，又含有偶次根式，也含有分式，故根據函數解析式有意義的條件，列出關于 x 的不等式組，解不等式取交集，即可求得函數 f（x） 的定義域.

2判斷函數的單調性

函數單調性的定義：已知函數 f（x） 的定義域為I，D?I ，對于任意的 x₁，x₂∈D ，當 x₁2 時，都有f（x₁）2） ，則 f（x） 在區間 D 上單調遞增；當x₁2 時，都有 f（x₁）gt;f（x₂） ，則 f（x） 在區間 D 上單調遞減.

例2 已知函數 ，若對任意的x₁，x₂∈（1，+∞） ，且 x₁2 ，則 f（x₁），f（x₂） 的關系為（ ）.

A. C. f（x₁）=f（x₂） D.無法判斷

對任意的 x₁，x₂∈（1，+∞） ，且 x₁2 ，有

因為 _X2gt;_X1gt;1 ，所以

則 ，所以

即 ，故選B.

利用定義法判斷函數的單調性，要注意 x₁ ，x₂ 的任意性，除了直接比較 f（x₂），f（x₁） 的大小關系，還可利用不等式 （或 gt;0 進行判斷.

3求函數的最值

求解含有參數的函數最值問題，要對參數的可能取值進行分類討論，分類的標準就是參數與相關量的大小關系，因此需要借助不等式來求解.

例3已知函數 f（x）=3x²-12x+5 ，求函數f（x） 在 [m，m+2] 上的最值.

已知 f（x） 的圖像為拋物線，且開口向上，對稱軸為 x=2 ，所給區間含有參數 Ψ_m ，其與對稱軸的位置關系不確定，故需分如下幾種情況進行討論.

當 m≥2 時， f（x） 在 [m，m+2] 上單調遞增，所以函數 f（x） 的最小值為 f（m）=3m²-12m+5 ，最大值為 f（m+2）=3m²-7

當 2≥m+2 ，即 m?0 時， f（x） 在 [m，m+2] 上單調遞減，所以函數 f（x） 的最小值為 f（m+2）= 3m²-7 ，最大值為 f（m）=3m²-12m+5

當 mlt;2

f（m）} .由 3m²-12m+5≥3m²-7 ，解得 m?1 ，所以當 02-12m+5. 當 12-12m+5lt; 3m²-7 ，此時函數 f（x） 的最大值為

f（m+2）=3m²-7.

本題中的函數已知，對稱軸確定，但所給的區間不確定，需要借助不等式討論對稱軸與區間的關系.

4識別函數圖像

結合函數解析式判斷函數圖像問題是近年高考的常考題型，所給的選項之間往往只有細微差異，需要學生從這些差異人手，尋找解題的突破口.

例4（2024年全國甲卷理7）函數 f（x）= -x²+（e^x-e^-x）sinx 在[一2.8，2.8]上的圖像大致為.

已知函數 f（x） 的定義域[一2.8，2.8]為對稱區間，且 f（-x）=f（x） ，所以 f（x） 為偶函數，故排除選項A和C.再結合選項B和D差異，求特殊值

故選B.

函數圖像的判斷，有時既要借助函數的奇偶 性、單調性、對稱性，也要借助函數值的正負

情況判斷.

5 判斷函數零點分布

函數的零點，即函數圖像與 x 軸交點的橫坐標，也是方程 f（x）=0 的根，零點分布問題的處理需要結合三者關系進行判斷.

E 例5 已知函數 f（x）=3x²+2（1-a）x- a（a+2） 在 （-1，1） 上存在零點，則 α_a 的取值范圍是

O 易知 f（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）= 解析 （x-a）（3x+a+2） 由 f（x）=0 ，可得 x₁=

若 x₁∈（-1，1） ，則 ，解得一 5lt; alt;1

若 x₂∈（-1，1） ，則 -1

綜上， a 的取值范圍是 （-5，1）

一元二次函數零點的分布情況，首先考慮題設所給函數解析式能否因式分解，若能進行因式分解，只需結合題設分類討論即可.

6解決實際應用問題

例6現有 n 位同學參加學校組織的某棋類單循環制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進行一場比賽.每場比賽的計分規則是：勝者計3分，負者計0分，平局各計1分.所有比賽結束后，若這 n 位同學的得分總和為150分，且平局總場數不超過比賽總場數的一半，則平局總場數為（ ）.

A. 13 B.14 C. 15 D. 16

設平局總場數為 k（k∈N） ，由賽制規則可知比賽總場數為C2= （2號 .由于能決定勝負的每場選手的得分之和為3分，每場平局選手的得分之和為2分，所以

則 因為平局總場數不超過比賽總場數的一半，所以

整理可得 100?n（n-1）?120. 因為 n 為正整數，所以 n=11 ，則平局的總場數 ，故 選C.

點 評

在實際應用問題中要根據問題背景，列出相應的不等式，再求解.

（完）

高中 數理化