“三法”發現隱形圓

與圓有關的壓軸題，由于其難度較高，學生往往找不到切入口.而將題中隱性條件顯現出來，作出一個輔助圓，利用圓的有關知識求解，有利于化難為易，達到“柳暗花明又一村\"的效果.

1定點定長

概念反映了事物的本質特征，圓是到一定點的距離為定長的點的集合，因此，當題中出現到一定點距離相等的一組線段時，就有隱形圓存在，此時，構造以這個點為圓心的圓，能實現問題的突破[1].

例1如圖1所示，在四邊形ABCD中， AB=AC=AD=2 BC=1，AB//CD ，求BD的長.

分析：因為 AB=AC=AD= 2，所以 B，C，D 三個點到同一個點 A 的距離相等.根據圓的定義，這三個點一定在以 A 為圓心， AB 為半徑的同一個圓上.如圖2所示，以 A 為圓心， AB 長為半徑作圓，則點 _D，C 在圓 A 上.如何利用題中的一組平行線呢？延長 BA 交 ?A 于點 F ，連接 DF .根據平行線所夾的弧相等，得 ，所以 DF=CB=1. 延長 BA 交 ?A 于點 F 有兩個好處，一是得到了一組平行弦，二是獲得了一條直徑.根據直徑所對的圓周角是直角，得 ∠FDB=90^° ，這樣就把所求線段置于一個直角三角形中.在 RtΔBDF 中， BF=4，FD=1 ，由勾股定理可得

點評：常規解法中，需要利用等積法、等腰三角形的性質定理、勾股定理，運算步驟比較多，要求學生具備較強的計算能力.而利用圓的定義，作出輔助圓，結合圓的性質，口算即可算出結果，有利于增強學生對圓的概念的理解，培養學生的簡約意識.

2定邊定角

如果一個三角形的某個角固定，這個角所對的邊也固定，那么這個角的頂點一定在以定邊為弦，以這個角為圓周角的弧上運動.根據“同弧所對的圓周角相等”，可得相等的圓周角所對的弧也相等，此時構造輔助圓，可以利用圓的相關性質解決問題，問題將化難為易，事半功倍.

例2如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-3ax-4a 經過點 c ，點 c 的坐標為（0，2），A，B 是拋物線與 x 軸的兩交點， D 是拋物線的頂點.

（1）求 Ψ_a 的值及 A，B 兩點的坐標；

（2）連接 BC，AC ，沿直線 BC 將 ΔABC 翻折， A^′ 為點 A 的對稱點，你能求得點 A^′ 的坐標嗎？

（3）已知 P 是拋物線對稱軸上任一點，且 ∠BPC= ∠BAC ，你能求出點 P 的坐標嗎？

分析： （過程略.）

（2）A^′（1，4）. （過程略.）

（3）因為 A，B，C 三點的坐標固定，所以 ∠BAC 與 BC 邊長都是固定的.因為 ∠BPC=∠BAC ，所以∠BPC 的大小也是定值，因此符合題意的點 P 一定在以 BC 為弦， ∠BPC 為圓周角的弧上運動.那么，這條弧所在的圓如何確定呢？

其一，這個圓是 ΔABC 的外接圓，由第（2）小題知 ∠ACB= 90^° ，所以AB是這個圓的直徑.如圖4所示，圓 M 是以 AB 為直徑的圓，其與直線 DM （即拋物線的對稱軸）交于點 P .根據同弧所對的圓周角相等，得到 ∠CPB= ∠CAB 易得 ，所以點 P 的坐標為

其二，在同圓或等圓中，根據同弦所對的圓周角相等可得，以BC 為對稱軸作圓 M 的軸對稱圖形圓 M^′ ，當點 P 在圓 M^′ 上且在直線 BC 上方運動時， ∠CPB= ∠CAB .如圖5所示，仿照第（2）小題的情況，沿直線 BC 將 ΔABC 翻折， A^′ 是點 A 的對稱點，此時以 A^′B 為直徑作圓M^′ ，拋物線的對稱軸與圓 M 交于點 P^′ .由同弧所對的圓周角相等及翻折的性質，得 ∠CP^′B=∠CA^′B= ∠CAB .作 A^′H⊥x 軸于點 H ，作 M^′E⊥A^′H 于點E ，與對稱軸交于點 F ，根據三角形中位線定理，可得 ，所以 ，于是可得M^′F 的長為 在直角三角形 M^′P^′F 中，由勾股定理，可得 ，于是可得P^′M 的長為 .由此可得點 P 的坐標為

綜上，點 P 的坐標為

點評：此題在求第一個點 P 的坐標時，利用作出的輔助圓，通過觀察， ? 算就可以求得.第二個符合題意的點 P 容易被忽略，需要注意的是，以 BC 為弦向上、向下都可以構造圓，都會出現與已知角相等的圓周角.因此，利用輔助圓解題避免了漏解的現象，實現了化難為易的目的.

3瓜豆原理

瓜豆原理是指主從聯動，即在圖形中有一個定點和兩個動點，其中一個主動點一個從動點，無論三個點在不在同一直線上，如果主動點在線段或圓上運動，那么從動點也在線段或圓上運動.正所謂“種瓜得瓜，種豆得豆\"[2].如圖6所示.

例3如圖7所示，在直角三角形 ABC 中， ∠ACB 為直角，兩直角邊 AC=8，BC=6 ，以點 A 為圓心，4為半徑作圓 A，D 是圓上任一點，連接 BD ，取線段 BD 的中點 M ，求線段CM 長度的最值.

分析：因為ABC是直角三角形，兩直角邊分別是8和6，根據勾股定理，可得斜邊為10，即 AB=10 本題中的定點是 B ，主動點是 D ，從動點是 M ，當點 D 在圓上運動時，點 M 也一定在一個圓上運動，那么點M 所在圓的圓心在哪里，半徑是多少？此時要從圖形變換的角度看點 D 與點 M 的關系，即點 M 相當于將點 D 以點 B 為位似中心，縮小一半得到的.所以將點D 的運動路徑，即圓 A 以點 B 為位似中心，縮小一半即得點 M 的運動路徑，如圖8所示.將圓 ∴A 以點 B 為位似中心，縮小一半，即點 _AB 的中點 N ，就是要找的圓心，將圓 A 的半徑4縮小一半即為2，就是要找的圓的半徑.顯然， CM 的最大值就是 CM₁=5+2=7 ，CM 的最小值就是 CM₂=5-2=3

點評：如何由題中已有的瓜得到另一個瓜呢？本題采用了位似變換.因為定點、主動點、從動點在同一直線上，所以采用位似變換即可.當定點、主動點、從動點不在同一直線上時，要先旋轉再位似變換.而其中關鍵是尋找旋轉中心、位似中心，在確定另一個圓時，要確定好圓心與半徑.

隱形圓就是一雙隱形的翅膀，利用定點定長、定邊定角、瓜豆原理，讓學生展翅翱翔，在聯想與想象中，有利于啟迪學生的思維，使學生擁有面對困難的堅定信念.用這樣的方法去解決數學問題，難道不是一種美的享受嗎？

參考文獻：

[1]龔平.巧用“瓜豆原理”探究軌跡問題[J].初中生學習指導，2025（12）：20-23.

[2]劉昌典.借助數學實驗實施解題教學—以“定點定長探路徑”為例[J].中學數學教學參考，2020（14）：40