初中數(shù)學(xué)常見動(dòng)點(diǎn)題目及解題思路探究

1引言

動(dòng)點(diǎn)問題綜合考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、空間想象能力、運(yùn)算能力和邏輯能力.動(dòng)點(diǎn)問題中還蘊(yùn)含了抽象、推理、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與函數(shù)思想等.就初中數(shù)學(xué)來說，動(dòng)點(diǎn)問題常常與其他知識(shí)點(diǎn)，如幾何圖形、二次函數(shù)相結(jié)合，增加了題自的難度系數(shù).尤其是在新中考背景下，動(dòng)點(diǎn)問題已經(jīng)成了考查的熱點(diǎn)，成為拉開學(xué)生分值的最佳題目：

2與直線相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

例1如圖1所示，在平行四邊形 ABCD 中，已知 ∠DAB=45^° AB=6，BC=2 ，點(diǎn) P 為 CD 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 的最小值.

解析解決本題可先構(gòu)造直角三角形，再利用“垂線段最短”的性質(zhì)進(jìn)行解答.

如圖2所示，過點(diǎn) P 作 PH⊥AD ，并與 AD 的延長(zhǎng)線相交于 H 點(diǎn)；過點(diǎn) B 作 BH^′⊥AH 于 H^′ 點(diǎn)，并與 CD 相交于 P^′

因?yàn)?AB//CD ，所以 ∠HDP=∠DAB=45^° 所以 則

根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)得知，當(dāng) B，P，H 三點(diǎn)共線，且 BH⊥AD ，即 H，H^′ 兩點(diǎn)重合的時(shí)候， 存在最小值，且最小值為 BH^′ 的長(zhǎng)度.

又因?yàn)樵?RtΔABH^′ 中，因?yàn)?BH^′=AB ·

因此 的最小值為

點(diǎn)評(píng)通常，針對(duì)這一類型的動(dòng)點(diǎn)問題，當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)分別位于直線兩側(cè)的時(shí)候，即可采用直接連線的方法，并根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一性質(zhì)進(jìn)行解題；如果兩點(diǎn)位于直線的同一側(cè)，在利用該性質(zhì)解答之前，需要根據(jù)對(duì)稱性，將其中一點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線另一側(cè)[2].

3與四邊形面積相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

例2如圖3，已知 y=-x²+bx+c 的圖象與x 軸交于 A（-1，0），B（2，0） ，與 y 軸相交于 C 點(diǎn).

（1）求該函數(shù)的解析式；

（2）如果 E 點(diǎn)位于第一象限，且在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 處于最大值時(shí)，求 E 點(diǎn)位置坐標(biāo)，以及 最大值.

解析根據(jù)題目已知條件可推斷出：在（1）中可結(jié)合函數(shù)知識(shí)，直接利用待定系數(shù)法的方式進(jìn)行求解；在（2）中可先求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)，并連接 BC ，將四邊形劃分為 ΔABC ΔBCE ，在這兩個(gè)三角形中，（2 S_ΔABC 為定值，因此當(dāng) S_ΔBCE 最大時(shí)， S_⊥⊥HABEC 最大.

（1）根據(jù)已知條件即可得出：二次函數(shù) y=

-x²+bx+c 的解析式為 y=-x²+x+2 （2）當(dāng) x=0 時(shí)， y=2 ，則 c 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）.因?yàn)镾△ABC 因此，當(dāng) S_ΔBCE 最大時(shí)， S_{⊥⊥⊥⊥BEC} 存在最大值.假設(shè)直線 BC 的解析式為 y₁=kx+b ， 1，則 解得因此直線 BC 的解析式為 y₁=-x+2 假設(shè) E 點(diǎn)的坐標(biāo)為 （a，-a²+a+2） ，過 E 作

EG⊥x 軸，并交 BC 于 F ，交 x 軸于 G （如圖4所示），

則 F（a，-a+2） ！因此 EF=（-a²+a+2）-（-a+2）=-a²+

（20號(hào) 2a ：所以

即：當(dāng) a=1 時(shí)， 此時(shí)點(diǎn) E（1，2）

則

點(diǎn)評(píng)在解決四邊形面積最值問題的時(shí)候，可通過作輔助線的方式，將四邊形進(jìn)行拆分，使其變成兩個(gè)三角形.

4與幾何圖形周長(zhǎng)相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

例3如圖5，已知 y=ax²+bx+c（a≠0） 和x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，與 軸交于 c 點(diǎn)，且 B（2，0） ，OA=OC=2OB

（1）求該函數(shù)表達(dá)式.

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在動(dòng)點(diǎn) M ，使得 C_ΔMBC 存在最小值？若存在求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在，說明理由.

解析在該題目中，第（1）問相對(duì)比較簡(jiǎn)單，第（2）問要求 ΔMBC 的周長(zhǎng)最小，即可將其轉(zhuǎn)化成為

BM+CM 的最小值.根據(jù)“線段和最小，同側(cè)找對(duì)稱”的原則進(jìn)行解題.

（2）存在.因?yàn)? 對(duì)稱軸為 x=-1 ，且A，B 兩點(diǎn)關(guān)于 x=-1 對(duì)稱.因此，連接 AC 兩點(diǎn)，與對(duì)稱軸交 M ，此時(shí)C_ΔMBC 有最小值.設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+m ，代人 A，C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出： 即： 即直線 AC 的解析式為 y=x+4 代人 x=-1 即可得出 M 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則M（-1，3） ：

點(diǎn)評(píng)遇到動(dòng)點(diǎn)與周長(zhǎng)最值相結(jié)合的問題，通常可將其轉(zhuǎn)化成為線段和的最值問題，即：兩定點(diǎn)在定直線的同側(cè)或者異側(cè)，在此基礎(chǔ)上結(jié)合點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)的規(guī)律進(jìn)行解答[3].

5結(jié)語(yǔ)

綜上所述，動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重點(diǎn).學(xué)生應(yīng)具備一定的數(shù)學(xué)思維和綜合能力，能夠結(jié)合實(shí)際情況靈活運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想解決問題.因此，教師在日常教學(xué)活動(dòng)中，必須基于不同類型動(dòng)點(diǎn)問題，做好歸納與總結(jié).

參考文獻(xiàn)：

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[2]楊景江.初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略[J].數(shù)理天地（初中版），2025（3）：20—21.

[3陳銀珠.初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的類型及解題策略J」.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（24）：80—81+85.