如何由啟發性提示語產生分類討論意識

從一線執教的情況來看，很多學生不僅不會分類討論，而且很難有分類討論的意識，即無法想到一道題需要進行分類討論1.之所以會如此，其中很重要的一個原因就是學生缺少分類討論意識，而這又是由學生是否抓住了題中的啟發性提示語決定的[2].所以，本文中先通過例題分析嘗試尋找如何發現提示語的方法，然后進一步分析如何利用提示語幫助學生利用分類討論解決問題.

1錯題及分析

在初中數學中，需要分類討論的數學問題有許多，且不限于幾何問題，代數問題有時也需要分類討論.然而，如果學生沒有發現啟發性提示語，沒有進行分類討論，那么極易出現如下漏解的錯誤：

例1方程 （m+1）x^m2+1+（m-3）x-1=0.

（1）m 取何值時該方程是一元二次方程？并求出此方程的解.

（2）m 取何值時該方程是一元一次方程？

錯解：（1）因為方程 （m+1）x^m2+1+（m-3）x- 1=0 是一元二次方程，所以 m²+1=2

化簡，得 m²=1 所以 m=±1

（2）因為方程 （m+1）x^m2+1+（m-3）x-1=0 是一元一次方程，所以 m+1=0

所以 m=-1

例2若等腰三角形的一邊長是4，第三邊的長是關于 x 的方程 x²-11x+18=0 的解，求此等腰三角形的周長.

錯解：解方程 x²-11x+18=0 ，得 x₁=2，x₂=9 所以等腰三角形的周長是 4+2+9=15

例3如圖1所示，矩形ABCD的長是8，寬是5.現將ΔABE 沿著折痕 BE 折疊，使得點 A 的對應點 A^′ 在矩形 ABCD 的對稱軸上.求 AE 的長.

錯解：如圖2所示，過點 A^′ 作矩形的對稱軸，分別與 AD，BC 交于點 M，N ：

由四邊形ABCD是矩形，且MN是其對稱軸， AD=8 ，可知AM=BN=4 ：

因為 AB=5 ，所以由折疊性質可得 AB=A^′B=5 易得 AB=MN=5，ΔA^′BN 是直角三角形.

由勾股定理，得 A^′N=3 所以 A^'M=2 設 AE=x ，則 EM=4-x ：

由折疊性質，可得 AE=A^′E=x

易得 ΔA^′EM 是直角三角形，則由勾股定理得 （4-x）²+2²=x²

解之，得 2故 2

從這三道題的錯解情況來看，學生的計算功底比較扎實，但都錯在沒有考慮到需分類討論.導致學生缺乏分類討論意識的原因比較多，其中與他們的思維定勢有很大關系.

如例1的第（2）小題，學生在思考“一元一次方程\"時，習慣性地認為只需二次項系數為零，并未考慮到有其他情況的存在，這就是思維定勢使得學生的思維出現了一定的局限性.

如例2，學生只考慮到了解出方程即可，并未往深層面進一步思考，從而沒有發現解題時需進行分類討論.

再如例3，只分析了其中一條對稱軸，而另一條對稱軸的情況沒有分析，這同樣是思維定勢導致的錯誤結果.

思維定勢在分析問題時最直接的表現就在于，總認為某一個解題方向為正確方向，這種想法更趨近于傳統觀念[3].例如，談到比較大小，通常認為必須是左大右小.再如，提到等腰三角形，習慣上認為它就是銳角三角形.可以說，像這樣的思維定勢不勝枚舉.

2啟發性提示語的發現方法

思維定勢阻礙著學生發散性思維的形成與發展，而解決這些問題恰恰需要發散性思維[4].所以，如何打破思維定勢，讓學生的發散性思維逐漸形成，其實離不開題中啟發性提示語的發現.下面，簡要介紹其發現方法：

首先，注意關鍵詞，如等腰、對稱軸等，因為這些關鍵詞往往意味著可能存在多種情況.例2中的“一邊\"并未明確是等腰三角形中的哪種邊，所以存在多種情況；例3中的對稱軸并未說明具體是哪一條，而矩形的對稱軸有兩條.解題時要抓住這些自身具有多種情況的詞語，往深處思考和探索.

其次，根據畫圖尋找矛盾.幾何題通常需要借助圖形解決問題，然而有時畫的圖并未與題意一致，此時就可提示解題者本題可能存在多種情況，在具體解決時需分類討論來求解.特別是上述例3中點 A^′ 在矩形ABCD的哪一條對稱軸上并未清楚告知，就存在分類討論的可能.

最后，根據解題經驗.如果題目出現在選擇題、填空題最后一題，那么分類討論的可能性極大.如果題目中出現了動點、動圖等，那么一定需要借助分類討論來求解.如果選擇題中的選項出現了“或\"字，那么就提示解題者本題可能存在多種情況.

3啟發性提示語在題中的正確應用

基于以上啟發性提示語的發現方法，接下來以例2、例3的正確解法為示范，為一線教師呈現如何在題中正確應用啟發性提示語.

例2分析：本題“等腰三角形”和“一邊長”是提示語，教師可據此提問“等腰三角形的邊有幾種？”引導學生思維.此時，學生認識到等腰三角形的邊分為底邊和腰兩種，而本題并未明確該邊是底邊還是腰，繼而出現兩種不同情況.

正解：解方程 x²-11x+18=0 ，得 x₁=2，x₂=9 由于長度為4的邊可能為底邊，也可能為腰，所以有兩種情況：

① 當長度為4的邊是底邊，則腰可能為2或9.

若腰長為2，則無法構成三角形；

若腰長為9，此時等腰三角形的周長為 ⁹⁺⁹⁺ 4=22 ：

② 當長度為4的邊是腰，則底邊長可能為2或9.

若底邊長為2，此時等腰三角形的周長為 ⁴⁺⁴⁺ 2=10 ：

若底邊長為9，則無法構成三角形.

綜上所述，等腰三角形的周長為10或22

例3分析：本題“矩形ABCD的對稱軸”是啟發性提示語，因為矩形的對稱軸有兩條，具體是哪一條題中并未告知，所以需分類討論.

正解：因為矩形ABCD有兩條對稱軸，所以落點A^′ 有兩種情況：

① 點 A^′ 落在豎向對稱軸上.解法如上， =

② 點 A^′ 落在橫向對稱軸上.如圖3所示，過點 A^′ 作矩形的對稱軸，分別與 AB，CD 相交于點 G，H. 根據對稱性，可得

由折疊性質，可得 AB=A^′B=5 所以 ∠BA^′G=30^° ，則 ∠GBA^′=60^°

由折疊性質2可得 ∠A=∠EA^′B=90^° ∠ABE= ∠A^′BE，AE=A^′E

所以 ∠EBA^′=30^°

在 RtΔABE 中，

（204號綜上， 或

評析：從正確解法過程來看，充分利用了“矩形ABCD的對稱軸”中“對稱軸”這一“不確定是哪一條對稱軸”的條件形成了兩種情況，以及“一邊長”的不確定性（即到底是哪一邊）然后進行分類討論.由此啟發了學生，在分析條件時一定要注意是否已經明確了對象.若明確，則一種情況；若不明確，則需分類討論.

根據啟發性提示語進行分類討論，是當前初中數學研究領域比較薄弱之處[5].作為一線教師，有必要在教學之余投入到此項研究工作中.結合一線教學經驗，引入問題思考并分析問題解決的方法，與廣大一線同仁取得更多的交流.如此一來，對教師的成長和提升非常有利，對學生的發展也非常有利.

參考文獻：

[1劉軍.例談啟發性提示語在數學解題教學中的應用[J].數理天地：初中版，2022（1）：59-60.

[2]董才強，馬和水.利用啟發性提示語促進解題教學[J].初中數學教與學，2012（10）：25.

[3]武文鑫.利用啟發性提示語促進解題教學[J].數學之友，2012（3）：10-12.

[4]韓龍淑.數學教學中啟發性提示語的特征及運用[J].教學與管理，2010（10）：59-61.

[5]殷偉康.數學教學中啟發性提示語的運用與思考[J].中學數學月刊，2013（3）：12-15.