步步進階 拓展提升

“幾何整體教學體現在幾何概念的內在關聯，幾何內容的結構化，幾何方法的一致性.\"[這與邢成云[2]老師提出的“整體化教學\"相合.本節課在研究\"線段的垂直平分線、角的平分線”的基礎上，進階性研究三角形中的軸對稱圖形——等腰三角形.通過“問題驅動\"\"探究活動”“小組合作”，幫助學生形成研究三角形的思路方法.

1教材分析

等腰三角形是立足“線段”“角”等一維、二維軸對稱圖形基礎上的學習，三角形的軸對稱性自然進人我們的視野，而一般的三角形不具備這一特性，但邊特殊的等腰三角形具備，由此確定了這一進階性研究對象.另外，三角形、全等三角形的知識也是學習本節的基礎.等腰三角形的性質是證明線段相等、角相等、兩條直線垂直的常用依據，也是下節課研究等邊三角形的重要依據，屬于是全章或整個平面幾何中重要的圖形之一，也是學習四邊形、圓等知識的重要基礎.對于等腰三角形性質的證明，需要先添加輔助線構造全等三角形，這一構造策略也是學生解題過程中經常遇到的，更是體現“轉化”思想的良好載體.

本節課基于單元整體思維，把等腰三角形的性質、判定整合成一節課完成，更利于形成等腰三角形的小單元系統，能夠提高教學效能，由此獲得的研究策略與方法也可遷移到等邊三角形的研究中去.

2教學目標

（1）探究并理解等腰三角形的性質、判定；（2）能夠運用等腰三角形的性質與判定證明線段相等、角相等、兩條直線垂直；

（3）理解等腰三角形的性質與判定的互逆關系，能根據具體問題選擇合適的定理解決問題.

基于以上分析，本節課的教學重點確定為：探究理解等腰三角形的性質與判定；教學難點確定為：等腰三角形“三線合一\"性質的推理與應用.

3教學過程設計

環節一：創境引悱，孕育模型.

問題1欣賞圖片（圖1），能否找出你熟悉的圖形？

追問1：前面學習了兩個軸對稱圖形——線段、角，按照學習圖形的規律，接下來研究哪個圖形？

預設：三角形，等腰三角形.

追問2：大家對等腰三角形有哪些了解？

追問3：請結合圖2，指出三角形ABC各條邊的名稱與各個角的名稱.

師生活動：教師結合學生回答板書相關定義.

設計意圖：結合圖片導入課題，讓學生感受等腰三角形在生活中的

運用，體會數學與生活的聯系.等腰三角形的相關概念學生在小學已初步認識，考慮到學生可能會遺忘，在此通過回顧做一喚醒.

環節二：設疑猜想，形成模型，

問題2類比我們學習圖形的經驗，接下來要研究等腰三角形的哪些內容？

預設：性質、判定、尺規作圖.

追問：在圖2中，根據等腰三角形的定義，可知AB=AC ，進一步可以得出哪些結論？

預設： ∠B=∠C

教師借助幾何畫板演示，并改變等腰三角形的形狀，用實驗驗證猜想.

設計意圖：從等腰三角形的定義出發，借助直觀感知形成猜想，進而過渡到下階段的理性思考.

環節三：合作探究，驗證模型.

問題3那如何證明 ∠B=∠C 呢？

引導學生思考證明兩個角相等的方法，由此把構造全等三角形拎出來，形成作高線、中線、角平分線等3種基本方法.

追問1：這3種不同方法的共同點是什么？你是如何想到這些方法的？

追問2：由以上證明還能進一步發現什么結論？

通過師生活動，獲得等腰三角形的“等邊對等角”“三線合一\"兩個重要性質，進而從推理的角度證得等腰三角形是軸對稱圖形.

設計意圖：此環節讓學生經歷等腰三角形性質的探究證明過程，借助對不同方法的探究，體會并發現添加輔助線的方法，在獲得兩個重要性質的同時，加深對角平分線、中線、高線的認識，并從理論的角度認識等腰三角形的軸對稱性.

環節四：前后聯系，理解模型，

問題4現在得出了等腰三角形的性質，接下來應該繼續研究什么內容？說說這樣研究的想法.

預設：等腰三角形的判定，類比平行線的研究思路.

追問：根據平行線的研究經驗，應如何研究等腰三角形的判定？

預設：研究其性質定理的逆命題.

師生活動略.

設計意圖：結合追問，實現研究方法的遷移，明確等腰三角形的研究路徑仍然是從定義出發研究性質與判定，而判定與性質一般呈互逆關系，通過活動引導學生從中感悟學習這些性質與判定的價值.

環節五：發散思維，鞏固模型.

問題5已知線段 BC ，請你用尺規作圖畫出等腰三角形 ABC ，使得 AB=AC ，再用尺規作圖畫出ΔABC 的外角 ∠DAC 的平分線 AE .給出 ①AB= AC 4 ②AE 平分 ∠DAC ③AE//BC ，請你以其中兩個為條件，另外一個為結論，寫出可以組成的所有真命題，并給出證明.

設計意圖：此題是對課本中的兩個例題進行整合，讓學生完成尺規作圖，再結合自己畫出的圖形寫出命題并對問題進行思考，借助對不同命題的證明，考查學生對等腰三角形性質與判定的應用，培養綜合運用知識解決問題的能力.這種開放題的設計，有助于培養學生的發散思維，提高他們的深度思考能力.

環節六：反思評價，拓展模型.

問題6通過等腰三角形的學習，大家有哪些新的收獲？

引導學生從學習過程思考，得出數學知識、數學思想方法、數學模型等方面的收獲.

設計意圖：從不同角度進行總結，有助于培養學生的梳理歸納能力.

4教學立意與闡釋

4.1重視數學活動經驗的積累

引導學生感悟數學問題的本質是數學學習的要義之所在.課堂上通過實驗與探究，學生在“感悟理解”的基礎上學會學習、思考，這樣不僅加深了對等腰三角形的性質、判定的理解，也可以逐步形成直觀感知.羅增儒教授說“沒有理解的操作是傻練，越練越傻；沒有操作的理解是空想，越想越空.\"學生只有經歷了實驗操作，才會慢慢把知識化為技能，只有形成了能力，才可談提高核心素養.

4.2重視學生多角度提出問題

在等腰三角形性質的證明過程與例題的設計中，都注重了題目的多解與開放性.“多解\"的證明，可以讓學生認識到學習數學的價值，有助于學生掌握解決問題、分析問題的方法，也為學生的思維打開了一扇窗，拓寬他們的思維廣度，發展他們的應用意識和創新意識.

4.3重視從幾何直觀到邏輯證明

整節課從定義出發，通過對等腰三角形的直觀感知，引導學生理解基本概念；借助幾何直觀提出猜想，再通過邏輯推理論證得出等腰三角形的對稱性.這不僅加深了他們對等腰三角形性質的理解，還培養了他們的邏輯思維能力和解決問題的能力.通過這節課的學習，學生不僅掌握了相關的幾何知識，還學會了如何將直觀感受轉化為嚴謹的邏輯證明，為今后的數學學習打下了堅實的基礎.

參考文獻：

[1劉志昂.從事實到結構：幾何整體教學的實踐與思考以等腰三角形教學為例[J].數學通報，2023，62（12）：24-28.

[2]邢成云.“整體統攝·快慢相諧”的整體化教學[J].中國教師，2021（10）：38-41.Z