Burgers-Huxley方程的精確行波解

中圖分類號：O175.29 文獻標志碼：A 文章編號： 1000-5013（2025）04-0470-06

Exact Traveling Wave Solutions Burgers-Huxley Equation

JIA Huilin WEN Zhenshu ZHANG Xiaoya

Abstract： Various kinds exact traveling wave solutions Burgers-Huxley equation by using （G/G） -expansion method and F -expansion method are obtained respectively. The research results show that one can only obtain the solutions Burgers-Huxley equation under the condition λ²-4μgt;0 by （G/G） -expansion method， while one can only find the solutions Burgers-Huxley equation under some special conditions by F_δ -expansion method.

Keywords： Burgers-Huxley equation; （G^′/G） -expansion method; F -expansion method;exact traveling wave solution

1預備知識

Burgers-Huxley（BH）方程是一類重要的非線性反應擴散方程，其形式為

u_t+pu_x-u_xx+qu（u-1）（u-s）=0_o

式（1）中： ?，q，s 均為非零常數。

BH方程（1）的解及其性態研究具有重要的理論和應用價值。目前，已經得到BH方程（1）的部分精確解。Fan[通過符號計算，得到BH方程（1）的一些精確解。Yefimova等2通過Cole-Hopf 變換，得到BH方程（1）的部分解。基于首次積分法，劉新源等[3得到 BH方程（1）的部分精確解和隱式解。從動力系統的角度[4-5]，王勤龍等[6]對 BH方程（1）的行波解進行研究。基于齊次平衡法，詹雨等[7]得到BH方程（1）的幾種不同形式的行波解;夏鴻鳴等[8]嘗試選擇適當的試探函數，得到 BH方程（1）的扭狀孤波解和奇異行波解。Kushner等[9基于BH方程（1）的動力學，構造其部分精確解。雖然已經找到了BH方程（1）的部分解，但基于新的方法可能會找到新的解。基于此，本文分別采用 （G^′/G） -展開法[10]和F. -展開法[11]，得到了BH方程（1）的各種形式的精確行波解。

為了研究 BH方程（1）的行波解，利用變換 u（x，t）=u（ξ） ， ，將BH方程（1）寫為

-cu^′+pu^′-u^′′+qu（u-1）（u-s）=0，

2利用 （G^′/G） -展開法求解BH方程（1）

假定 u（ξ） 可以展開為關于 （G^′/G） 的多項式，有

式（3）中： a₀…，a₁…，…，a_m 為待確定的常數，且 G=G（ξ） ，滿足

G^′′+λG^′+μG=0

式（4）中： ?λ，μ 為常數。

關于方程（4）的解，可參考文獻[10]的式 （18）～（20） 。利用 u^′′ 與 u（u-1）（u-s） 之間的齊次平衡，可得式（3）中的最高次冪為 m=1 。把式（3）代人式（2），并利用式（4），可得

a₁（a₁²q-2）（G^′/G）³+a₁（c-p-3λ+qa₁（3a₀-1-s））（G^′/G）²+（a₁（c-p-λ）λ-2a₁μ+2λ）（a₁（c-p-λ）λ-2a₁μ），

令式（5）中 （G^′/G）^k（k=0，1，2，3） 的系數為零，可得

方程組（6）有以下解。

i）當 q=2（λ²-4μ） 時，有

i）當 時，有

i）當 時，有

iv）當 時，有

v）當 時，有

利用式 （3），（7）～（11） ，以及文獻[10]中的式（19），可得定理1。

定理1i）當 q=2（λ²-4μ） 時，BH方程（1）有解

式（12）中：

i）當 q=2（λ²-4μ）/（s-1）²，sgt;1 時，BH方程（1）有解

i）當 q=2（λ²-4μ）/（s-1）²，slt;1 時，BH方程（1）有解

式（14）中：

iv）當 q=2（λ²-4μ）/s²，slt;0 時，BH方程（1）有解

式（15）中：

v）當 q=2（λ²-4μ）/s²，sgt;0 時，BH方程（1）有解

式（16）中：

u₁⁺ 和 u₁^- （式（12））的波形圖，如圖1所示。其他解的波形圖類似。

3利用 F? -展開法求解BH方程（1）

假定 u（ξ） 可以展開成關于 F（ξ） 的多項式，即

式（17）中： a₀…，a₁，…，a_m 為待定的常數，且 F（ξ） 滿足一階常微分方程

（F^′）²=q₀+q₂F²+q₄F⁴

式（18）中： q₀，q₂，q₄ 為常數。

根據式（18），有 F^′F^′′=q₂FF^′+2q₄F³F^′ 。進一步有

F^′′=q₂F+2q₄F³

關于方程（14）的解，可參考文獻[11]的表1。利用 u^′′ 與 u（u-1）（u-s） 之間的齊次平衡，可得式（17）中的最高次冪為 m=1 。把式（17）代人式（2），并利用式（19），可得

令式（20）中 F^′（ξ），F^k（ξ）（k=0，1，2，3） 的系數為零，可得

方程組（21）有如下解。

1 i） ii ）

利用式（17）和方程組（21）的上述解，以及文獻[11]中的表1，可得 BH方程（1）的解。

定理2i）假定 q₀=1，q₂=-2，q₄=1 。當 ，c=p，q=8時，BH方程（1）有解

當 s=2，c=p，q=2 時，BH方程（1）有解

當 s=-1，c=p，q=2 時，BH方程（1）有解

i）假定 q₀=0，q₂=1，q₄=-1 。當 ，c=ρ，q=-4時，BH方程（1）有解

當 s=2，c=p，q=-1 時，BH方程（1）有解

當 s=-1，c=p，q=-1 時，BH方程（1）有解

i）假定 q₀=0，q₂=-1，q₄=1 。當 ，c=p，q=4時，BH方程（1）有解

當 s=2，c=p，q=1 時，BH方程（1）有解

當 s=-1，c=p，q=1 時，BH方程（1）有解

定理2部分解的波形圖，如圖2所示。其他解對應的波形圖類似。

4結束語

基于 （G^′/G） -展開法和 F. -展開法，分別得到了BH方程（1）的各種形式的精確行波解。通過對解的分析，利用 （G^′/G） -展開法只能得到 BH方程（1）在 λ²-4μgt;0 時的解，而無法得到其在 λ²-4μlt;0 時的解；而利用 F. -展開法只能得到BH方程（1）在某些特殊情況下的解。這是由BH方程（1）本身的結構造成的。近年來，奇異擾動微分方程也受到廣泛的關注[12-16]，今后將進一步研究奇異擾動 BH方程的解的性態。

參考文獻：

[1]FAN Engui.Traveling wave solutions nonlinear evolution equations byusing symbolic computation[J].Applied Mathematics：A Journal Chinese Universities，2001，16（2）：149-155.DOI：10.1007/s11766-001-0021-3.

[2] YEFIMOVA O，KUDRYASHOV N.Exact solutions the Burgers-Huxley equation[J]. Journal Applied Mathematics and Mechanics，2004，68（3） ：413-420. DOI：10.1016/S0021-8928（04）00055-3.

[3]劉新源，姜璐，郭玉翠.Burgers-Huxley方程新的精確解[J].山東理工大學學報（自然科學版），2006，20（5）：44-46， 50.DO1：10.3969/j.issn.1672-6197.2006.05.012.

[4] WEN Zhenshu.The generalized bifurcation method for deriving exact solutions nonlinear space-time fractional partial differential equations[J].Applied Mathematics and Computation，2020，366：124735.DOI：10.1016/j.amc. http： // hdxb. hqu. edu. cn/ 2019.124735.

[5] WEN Zhenshu，LI Huijun，FU Yanggeng. Abundant explicit periodic wave solutions and their limit forms to spacetimefractional Drinfel'd-Sokolov-Wilson equationJ]. Methods in the Apied Sciences，2021，44（8）： 6406-6421.DOI：10.1002/mma.7192.

[6] 王勤龍，鄧習軍.一類廣義 Burgers-Huxley方程的解與其分支[J].數學的實踐與認識，2010，4O（1）：240-245.

[7] 詹雨，呼家源.齊次平衡法與 Burgers-Huxley方程的精確解［J].寶雞文理學院學報（自然科學版），2014，34（4）：1- 4.DO1：10.13467/j.cnki. jbuns.2014.04.008.

[8] 夏鴻鳴，高忠社.Burgers-Huxley方程的兩類精確解[J].天水師范學院學報，2019，39（5）：115-117.DOI：10.3969/j. issn.1671-1351.2019.05.022.

[9]KUSHNER A，MATVIICHUK R.Exact solutions the Burgers-Huxley equation via dynamics[J].Journal Geometry and Physics，2020，151：103615.DOI：10.1016/j. geomphys. 2020.103615.

[10]溫振庶.經典的Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程的非線性波解[J].華僑大學學報（自然科學版），2016，37（4）：519- 522.DOI：10.11830/ISSN.1000-5013.201604026.

[11]溫振庶.耦合的修正變系數 KdV方程的非線性波解[J].華僑大學學報（自然科學版），2014，35（5）：597-600.DOI： 10.11830/ISSN.1000-5013.2014.05.0597.

[12]HUANG Zihong，WEN Zhenshu.Persistence kink and periodic waves to singularly perturbed two-component Drinfel'd-Sokolov-Wilson system[J].Journal Nonlinear Physics，2023，30（3）：980-995.DOI：10. 1007/s44198-023-00111-x.

[13]ZHAO Keqin，WEN Zhenshu.Existence single-peak solitary waves and double-peaks solitary wave Gardner equation with Kuramoto-Sivashinsky perturbation[J]. Qualitative Theory Dynamical Systems，2023，22（3）：112. DOI：10. 1007/s12346-023-00811-1.

[14]HUANG Zihong，WEN Zhenshu.Single-and double-peak solitary waves two-component Drinfel'd-Sokolov-Wilson system with Kuramoto-Sivashinsky perturbation [J].International Journal Bifurcation and Chaos，2023，33 （1）：2350007.DOI：10.1142/s0218127423500074.

[15]HUANG Zihong，WEN Zhenshu.Persistence solitary waves and periodic waves a singularly perturbed generalized Drinfel'd-Sokolov system[J].International Journal Bifurcationand Chaos，2023，33（14）：2350l71.DOI： 10.1142/S0218127423501717.

[16]DERZIE E，MUNYAKAZI J，DINKA T.A NSFD method for the singularly perturbed Burgers-Huxley equation [J].Frontiers in Applied Mathematics and Statistics，2023，9：1068890.DOI：10.3389/fams.2023.1068890.

（責任編輯：錢筠 英文審校：黃心中）