低年級學生代數(shù)思維培養(yǎng)的教學實踐

代數(shù)思維被認為是數(shù)學的“核心思想”而具有較為重要的地位，是人類用于泛化算術、發(fā)現(xiàn)算法和屬性中的規(guī)律，并對表達式是否成立等進行定量推理的過程，是學生理解數(shù)學和現(xiàn)實世界的重要工具。教師要尋求算術思維和代數(shù)思維的關聯(lián)，思考將代數(shù)思維作為貫穿于所有年級課程的重要線索，打開學生抽象思維的大門。

新課標提出，要在算術教學中培養(yǎng)學生的代數(shù)思維。縱觀學生數(shù)學學習過程，從低年級數(shù)的表達與數(shù)的運算，到中年級的運算定律、周長與面積的字母式，再到高年級的用字母表示數(shù)，在各個階段，代數(shù)思維均有體現(xiàn)。教師要特別關注小學低年級學生對關系與結構的初步理解，為其代數(shù)思維的進階發(fā)展打好基礎。

一、小學低年級學生代數(shù)思維特點及其表現(xiàn)

“代數(shù)”從字面看有“以符號代表數(shù)”的意思。代數(shù)思維是指兒童能夠歸納概括出一般化的算式結構、變化規(guī)律和數(shù)量關系，并且能運用符號來表征和推理論證一般化的結論。在小學低年級數(shù)與運算的學習中，學生的代數(shù)思維有如下表現(xiàn)：

第一，對數(shù)進行不同形式的表達，靈活選擇運算策略。如學生能夠用多種不同的形式表達數(shù)字3、4、5。模式一：3、4、5；模式二： 3、3+1、3+2 模式三：4-1、4、⁴⁺¹ ；模式四： 模式一是對數(shù)的直接表達，體現(xiàn)學生關注每個數(shù)本身。模式二到四的表達，體現(xiàn)學生能夠將注意力放在數(shù)與數(shù)之間的關系上。在計算4 3+4+5³ 的過程中，具有代數(shù)思維的學生能根據(jù)對3、4、5三個數(shù)的不同表達，選用不同的計算方法，知道數(shù)的表達與運算方法之間的密切關聯(lián)，從而進行一般化的遷移。

第二，理解等號表示相等關系，運用關系解決問題。學生能夠理解‘ 不僅能表示計算結果的輸出，還能表示相等關系，這是符號化的表現(xiàn)。如在解決∠2+4=+5³³ 時，學生會有不同的思路。如下：

思路一：因為 2+4=6 ，所以在括號里填6。

思路二：先計算 2+4=6 ，再思考幾加5等于6，因此括號里填1。

思路三：先觀察5比4大1，括號里的數(shù)應該比2小1，括號里填1。

思路一，對等號的理解為等號輸出的是左邊算式算出的結果，這顯然是不正確的。思路二，先計算等號一側的結果，再根據(jù)此結果來計算等號另一側，使等號成立。思路三，利用等號兩邊表達式之間關系，通過比較，不計算得到結果，這體現(xiàn)了關系性思維，蘊含著一般化的代數(shù)思維：等式兩側的算式中，右側算式的一個加數(shù)比左側多1，另一個加數(shù)就要比左側少1。學生還發(fā)現(xiàn)，在加法算式中，一個加數(shù)增加幾，另一個加數(shù)就減少幾，和不變，一般化的表達方式是a+b=（a+c）+（b-c） ；在減法算式中，被減數(shù)和減數(shù)同加同減，差不變，一般化表達方式為 a-b=（a-c）-（b-c） ，以后學生還會發(fā)現(xiàn)積不變、商不變的規(guī)律。用字母表達的一般性規(guī)律，學生在低年級時不需要掌握，但教師可引導學生把他們的發(fā)現(xiàn)進行初步的概括，為后續(xù)代數(shù)思維的發(fā)展打下經(jīng)驗基礎。

結合孫思雨等研究者對學生代數(shù)思維的研究，筆者就小學低年級學生代數(shù)思維表現(xiàn)水平進行了梳理，見表1。

表1小學低年級學生代數(shù)思維表現(xiàn)水平

表1依據(jù)布盧姆關于認知水平和比格斯的SOLO分類法對學生的學習過程和學習結果的劃分而制訂。該量表有利于教師依據(jù)學生當前的思維水平層次制訂有效的教學目標，并進行有針對性的設計和指導，為促進學生代數(shù)思維水平的提升提供切實可行的思路。

二、運算教學中培養(yǎng)低年級學生代數(shù)思維的教學策略

在一年級學習了“百以內的筆算加減法”后，即使很簡單的計算題目，大多數(shù)學生也習慣于列豎式進行計算。數(shù)位對齊、從個位算起等規(guī)則在學生頭腦中根深蒂固，學生能夠按照一定運算程序進行計算并且表現(xiàn)得較為熟練。當然，豎式計算為學生日后學習三位數(shù)及萬以內數(shù)的加減法奠定了一定的基礎，但如果一味地按程序進行機械計算而不去思考數(shù)與數(shù)、式與式間的聯(lián)系，必將影響學習興趣，不利于學生素養(yǎng)的發(fā)展。如何在教學中用有效的策略破解當前的困境，進而培養(yǎng)學生的代數(shù)思維，為更高學段的學習做準備？筆者結合低年級學生代數(shù)思維的特征，以及對“100以內數(shù)的認識和加減法”教學內容的分析，在單元復習課中制訂如下教學目標：

1.通過根據(jù)已有算式，寫出相關的算式，借助小棒、計數(shù)器、數(shù)字天平等進行解釋，認識算式之間的關聯(lián)，體會算式中的變與不變。

2.會計算100以內加減法，能從數(shù)數(shù)、計數(shù)單位等角度說出計算的道理。

3.引導學生用變化的眼光看待數(shù)學學習（生活），能從一個事物的多個角度進行觀察、思考和理解，發(fā)展學生的應用意識和解決問題的能力。

下面結合教學片段闡釋小學低年級復習課中學生代數(shù)思維的培養(yǎng)策略。

（一）設計開放性任務，引發(fā)學生的關聯(lián)性思考

要實現(xiàn)對算式靈活正確的計算，學生需要識別出算式的特點，并對運算或規(guī)律進行概括，運用關系結構進行思考。教師可以通過設計開放性的任務引發(fā)學生進行多樣化的表達，學生對已知算式展開相關聯(lián)想，主動思考可能與之相關的算式。

【教學片段1】

師：剛才我們用‘ 3+4=7³ 講了一些數(shù)學故事。你能想到哪些與‘ 3+4=7^? ”有關的算式？你是怎么想到這些算式的？用學具解釋你的思考。先獨立完成，再討論。

任務一：

1.寫一寫：你想到了哪些與 3+4=7 有關的算式？寫在紙條上。2.想一想：你是怎么想到這些算式的？3.說一說：借助學具進行說明。

學生做任務，教師邊巡視邊收集學生作品，組織全班交流討論。

1.由加法想到減法 -加減法互逆視角

師：剛剛老師巡視發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學都寫出了算式7-3=4 或 7-4=3 （將學生作品貼在黑板上），誰能說說你是怎么想的？

生1：因為 3+4=7 ，所以 7-3=4 比如，我有7塊糖，吃了3塊，還剩4塊，就用 7-3=4 解決。

師：從加法算式想到相應的減法算式，說明大家知道加法和減法是有聯(lián)系的。

2.和不變—變化與守恒視角

師：還有同學根據(jù)算式 3+4=7 想到了 2+5=7 。你們能用小棒、計數(shù)器、數(shù)字天平等解釋算式 463+4=73 與 2+5=7^，， 的聯(lián)系嗎？

生2：我想借助小棒來說明 3+4=7 與 2+5=7 的聯(lián)系。我先擺出3根小棒，再擺出4根小棒，一共就是7根小棒。把3+4中3根中的1根拿到4根這邊，3變?yōu)?，4變?yōu)?，總數(shù)還是7根小棒，此時算式為2+5=7 。

生3：我用數(shù)字天平表達兩個算式的關系。先把3+4=7 在數(shù)字天平上表示出來，在保持天平右邊的重力卡7不變的情況下，左邊調整為2和5，天平仍然平衡，說明 3+4=2+5=7 。

師：剛才這兩位同學分別用小棒和數(shù)字天平呈現(xiàn)了思考過程，從 3+4=7 到 2+5=7 ，什么變了？什么沒變呢？

生4：兩個算式中加數(shù)都變了，但和是沒變的。

師：這兩個加數(shù)又是怎樣變化的呢？

生5：一個加數(shù)變小了1，另一個加數(shù)變大了1，和不變。

師：按照這個思路，你們還能寫出更多“和是7”的加法算式嗎？

生6：在數(shù)字天平中，和不變就要使得天平右側的7不動，通過改變左邊兩個重力卡的位置保持平衡，還能得出算式 1+6=7 。

生7：我從‘ 3+4=7³ 與“ 1+6=7³ 這兩個算式的關系想，3減少2等于1，4增加2變?yōu)?，因此 1+6 與3+4 的和是一樣的。

師：你們真會思考，能借助學具用變與不變的眼光思考算式間的聯(lián)系，真了不起！

3.和改變—變化與對應視角

師：有同學根據(jù) 443+4=73 寫出了 2+4=6³ ，這是怎么想的？能借助天平說說 ?（-2+4^，3 與 …3+4^，9 的聯(lián)系嗎？

生1：2+4為什么等于6呢？除了我們可以直接從4后面繼續(xù)數(shù)2得到6，還可以這樣想：因為2比3小1，而4沒有變，所以 2+4 要比3+4的結果小1。要保持天平平衡，右邊的重力卡應從7的位置掛到6的位置。

生2：計數(shù)器也能幫我把這兩個算式間的關系表示出來。我們一起來看圖1，我在一個計數(shù)器上撥出算式 3+4 ，在另一個計數(shù)器上撥出 2+4 。我們一下子就能看出， 2+4 比 3+4 少1，比7少1就是 2+4 的結果，所以 2+4=6

圖1

師：剛才我們發(fā)現(xiàn)了 2+4 與 3+4 的關系。還有同學寫出了算式 4+4=8 、 5+4=9 、 6+4=10… 你知道他們是怎么想的嗎？

生3：一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)增加1，和也增加1。

生4：一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)增加或減少幾，和也增加或減少幾。

師：有了這樣的發(fā)現(xiàn)，相信大家還能想出更多與號 3+4=7^? ’有關的算式。

學生聚焦學習任務，根據(jù)數(shù)及運算意義的理解思考與算式‘ 3+4=7³ 有關的一系列算式。學生在使用學具操作并進行說明的過程中，理解算式之間的變與不變，鍛煉了語言表達能力，為將規(guī)律進行一般化的表達奠定了基礎。

（二）設置解釋性問題，鍛煉學生概括性表達能力

研究者認為，在代數(shù)思維培養(yǎng)過程中，應重視“解釋性提問”，即對“為什么…”“為什么…是合理的”“為什么是真的”等的提問。使用解釋性提問不僅可以促使學生回憶信息，而且可以促使他們綜合、闡述、生成、假設和解釋信息。從理論上來說，這種提問方式是讓學生主動參與學習過程的一種方法。教學中，通過設置“低門檻、大空間、多層次的解釋性問題串”，引導學生解釋與 ?3+4=7³ 存在關聯(lián)的算式的緣由，進行初級的“一般化”概括，由一個算式想到幾個算式，由一類算式想到幾類算式。圍繞算式間內在聯(lián)系的討論，拓展學生對算式結構、變化規(guī)律和數(shù)量關系的認識。

【教學片段2】

師：為什么 13+4=17 、 13+14=27 也與 3+4=7 有關系呢？

生1：還是通過剛才的方法， ¹³⁺⁴ 與 3+4=7 比較，加數(shù)4沒變，13比3多10，所以 ¹³⁺⁴ 的結果也比 3+4 大10，所以 13+4=17 。

生2： 13+14=27 是在 3+4=7 的基礎上增加了20，所以結果為27。

生3：其實 ¹³⁺⁴ 與 13+14 也有聯(lián)系，這兩個算式中，13不變，4變?yōu)?4，所以 13+14 的結果要比¹³⁺⁴ 的結果大10。

師：如果已知算式 23+14=37 ，那 等于多少呢？

生5：我發(fā)現(xiàn)這兩個算式中，23是不變的，但14變?yōu)?8，增加了4，我覺得37加4才是 的計算結果， 23+18=41 。

生6：我知道 23+14=37 ，那么 23+14+3=37+3= 40，所以 $2 3 + 1 8 = 2 3 + 1 7 + 1 = 4 0 + 1 = 4 1 。$ 0

師：你們可真會思考，能夠用變與不變的眼光，通過算式間的關聯(lián)解決問題，真了不起。大家還有沒有別的方法得出 23+18 的結果呢？

生7：直接用豎式計算也能得出 23+18=41 。

師：我們能從不同的角度進行思考解決問題，思路變得越來越開闊。那算式 30+40=70 、 300+400=700 真的也與 3+4=7 有聯(lián)系嗎？

生8：3表示3個一，4表示4個一，合起來就是7個一。30表示3個十，40表示4個十，合起來就是7個十，就是70。300表示3個百，400表示4個百，合起來就是7個百，就是700。

生9：對比三個算式，我發(fā)現(xiàn)，三個算式在計算時都用到了 3+4=7 ，也就是計數(shù)單位的個數(shù)沒變，都是7個，但是計數(shù)單位由幾個一變成了幾個十、幾個百，所以 30+40=70 ！ 300+400=700 。

師：你們能從數(shù)的組成和計數(shù)單位的角度去思考，用舊知解決新問題，這就是遷移，是學好數(shù)學的重要方法。

師：按照剛才思考問題的方法，由 so7-4=3^，， 你們還能想出哪些算式？

生10： 70-40=30 ！ 700-400=300 ， 7000-4000= 3000……

教師將代數(shù)思維的培養(yǎng)作為一個重要的目標展開教學，引導學生從一個算式想到與其相關的一系列算式。學生在從算式間關聯(lián)的角度思考結果的同時，用熟悉的豎式方法計算對比驗證計算結果，不僅學會了計算的方法，還積累了思考問題的經(jīng)驗，逐步體會到關聯(lián)性思維的重要性。

三、低年級學生代數(shù)思維培養(yǎng)的實踐效果

本節(jié)課通過開放性的表現(xiàn)性任務，以及低門檻、大空間、多層次的解釋性問題串，為學生代數(shù)思維的發(fā)展打開一扇窗。實施的效果如何？筆者課后對班級40名學生進行調研，學生作答情況見表2。

通過調研發(fā)現(xiàn)，約 80% 的學生在解決問題時能夠自覺運用代數(shù)思維進行思考，速度快，結果準，思維活；部分學生仍喜歡用程序性算術思維解決問題也是可以理解的，畢竟代數(shù)思維的培養(yǎng)需要一個漫長的過程。

在低年級培養(yǎng)學生的代數(shù)思維是對其知識結構的一種鏈接與完善、拓展與發(fā)散。教師需要認識到的是，當把數(shù)學學習看作過程和結果相互聯(lián)系的邏輯結構，而不是僅僅傳授標準計算程序來進行教學的時候，學生自然就知道解題過程具有靈活性和選擇性，便會自主地選擇合適的解題策略，這對培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維意義重大。

表2百以內加法和減法復習課答題分析

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]孫思雨，許添舒，孔企平．基于潛在類別分析的小學生早期代數(shù)思維水平研究[J].數(shù)學教育學報，2022（1）.

[3]章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學階段“早期代數(shù)思維”的內涵及教學：墨爾本大學教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學教學（數(shù)學版），2016（11）.

注：本文系北京教育學院2024年度院級一般課題“指向學習目標的小學數(shù)學學習活動設計與評價研究（課題編號：YB2024-01）”的階段性研究成果。