“教一學一評”一體化模式在三角函數教學中的應用

三角函數是高中數學重要的知識模塊，承載著函數思想、幾何變換與代數運算的深度融合，其周期性和多變性特征使其成為教學難點。傳統課堂單向灌輸的教學方式易導致學生認知斷層，難以兼顧學生個性化學習需求?！敖桃粚W一評”一體化模式通過構建教、學、評的閉環結構，將評價嵌于教學過程中，為破解三角函數教學“高耗低效”困境提供了系統性解決方案，對于發展學生創新意識具有重要價值。

一、數字賦能，理解抽象概念

在高中三角函數教學中，抽象概念的理解是學生學習的難點。數字賦能借助信息技術，將抽象概念轉化為直觀形象的內容，有助于學生突破思維障礙。通過動態演示、交互操作等，能讓學生更清晰地觀察三角函數的變化規律，為“教一學一評”一體化中的評價提供可視化依據，促進學生對抽象概念的理解與掌握。

在教學“三角函數的概念”時，教師利用教室多媒體設備中的幾何畫板軟件輔助教學，在幾何畫板上繪制一個單位圓，圓心為點 o ，在圓上取一點 P ，連接 oP ，使其與 x 軸正半軸形成角 α_?° 教師拖動點 P 演示運動過程，屏幕動態顯示 P 點坐標及 sinα= y 。引導學生仔細觀察，當點 P 在不同位置時，sinα、 cosα 、tanα的值是如何變化的。例如，當點 P 運動到 y 軸正半軸時， sinα=1，cosα=0 ，此時tanα不存在；當點 P 在第一象限且靠近 x 軸時，sinα的值較小，cosα的值較大。教師引導學生觀察并總結規律，如“sinα和cosα的值總在-1到1之間”，并即時點評學生的發現，對發現“sinα和cosα的值總在-1到1之間”的學生說：“這個發現非常精準！點 P 在單位圓上運動意味著 x²+y²= 1，因此 ∣x∣?1 且 ∣y∣?1 ，這就是三角函數的有界性本質?！睂φ`認為“tanα總是正數”的學生說：“若點 P 在 x 軸正方向， tanα=0 ，而0不是正數，這說明我們需要注意角 α 終邊的具體位置?！蓖ㄟ^課前診斷測試（平均分623）與課后檢測（平均分84.7）對比，學生對三角函數定義的正確表述率從 43% 提升至 81% ，特別在象限符號判斷環節，正確率由 51% 提升至 93% 。

二、推理實驗，解析和差公式

和差公式是三角函數運算的關鍵規則，其推導過程緊密關聯代數運算與幾何變換。通過設計推理實驗，讓學生自主參與公式發現過程，在測量數據、觀察圖形、歸納共性中構建認知。這種實驗化推導方式，既能加深學生對公式結構的理解，也能培養數學思維的嚴謹性。

在解析 sin（α±β） 公式時，創設向量合成實驗情境。教師提前在教室多媒體設備上精心準備好幾何畫板軟件，為課堂教學做好充分鋪墊。向學生詳細講解實驗方向與目的后，讓學生分組圍坐在多媒體設備前操作幾何畫板。各小組分工明確，有的操作軟件，有的記錄數據。他們借助幾何畫板繪制單位圓上角 α / β 對應的向量，利用軟件的動態調整功能改變角度值，全神貫注地測量兩向量和的模長與方向角。當 α=30^° 1 β=60^° 時，有學生驚喜發現向量和與 sin（90^°） 對應，這一意外發現瞬間點燃大家的熱情，小組內討論熱烈。教師捕捉到學生的興奮點，適時引導各小組測量非特殊角組合，如 α=45^° 、 β=15^° ，并要求學生認真記錄向量和的坐標表達式，與 sin（α+β） 的數值細致對比。探究中，某小組遇到難題。當 α= 120^° 、 β=30^° 時，向量和的縱坐標為負，而 sin（150^°） ）為正，這讓他們陷入沉思。教師分層指導，對較快發現特殊角對應關系的小組說：“你們通過數值實驗發現了公式的特例，現在能否嘗試建立一般化的代數證明？”對陷人坐標系選擇困惑的小組說：“為什么不嘗試建立兩個不同坐標系分別對應 α 和 β？ 注意坐標系的旋轉關系?！睂嶒瀳蟾娣治鲲@示， 82% 的學生能正確推導和角公式，較傳統講授法 （ 65% ）提升明顯。

三、多元融合，計算向量夾角

向量夾角的計算兼具幾何直觀與代數運算的雙重特性，其教學不應局限于單一學科視角。通過融合幾何作圖、坐標代數、物理建模等多元表征方式，學生能深切領悟數學工具的普適性。這種跨學科整合不僅能深化對向量投影公式的理解，更能提升系統思維能力，契合“教一學一評”一體化模式中“用數學眼光觀察世界”的核心素養要求。

在探究兩向量夾角公式時，教師創設了橋梁設計情境：有一座斜拉橋，塔柱受到兩個鋼索的拉力，已知拉力矢量以及塔柱位移方向，需要計算鋼索間的最優夾角。借助教室多媒體設備上的幾何畫板軟件開展教學，教師講解操作步驟，隨后讓學生分組圍坐在多媒體設備前。有的學生負責操控鼠標在幾何畫板上繪制矢量三角形，有的記錄數據，組內成員分工明確。學生通過測量邊長相除得出cosθ值，然而很快發現，這種方法的精度受到作圖誤差的嚴重限制。此時，適時引導學生建立坐標系，將鋼索拉力分解為坐標分量。學生們積極思考、踴躍嘗試，運用向量點積公式推導 但在計算模長時，不少學生被根號運算難住了。就在大家一籌莫展之時，物理課代表靈機一動，聯想到力的分解原理，提出用拉力做功比例替代模長計算。教師給出針對性較強的反饋：“堅持幾何作圖法的小組，你們的執著值得肯定，但能否用誤差分析說明這種方法的局限性？”“嘗試坐標分解法的小組，選擇基底時要考慮問題的對稱性，建議對比標準基和任意基的計算復雜度。”學習數據顯示，學生建立的數學模型誤差從初始的 ±15% 降低至 ±3.2% 。

四、聯系生活，建構解題模型

三角函數在生活眾多領域應用廣泛，聯系生活建構三角函數解題模型，能使學生深切體會數學與生活的緊密聯系，有效提升應用能力。在“教一學—評”一體化模式中，借助生活實例建構模型可豐富評價形式，全面考查學生解決實際問題的能力，有力促進教學目標的達成。

在講解“三角函數的應用”時，為讓學生深刻感受三角函數在生活中的實用價值，可引用貼合生活實際的例子來建構解題模型。教師拋出問題：某座城市有一座摩天輪，其半徑是30米，圓心距離地面的高度為40米，摩天輪做勻速轉動，每8分鐘轉一圈。小紅從摩天輪的最低點登上摩天輪，那么小紅在登上摩天輪后的第χ_t 分鐘時，距離地面的高度h（米）與時間t（分鐘）之間的函數關系是怎樣的呢？引導學生思考，小紅距離地面的高度 h 由兩部分構成，一部分是圓心距離地面的高度40米，另一部分是小紅在摩天輪上相對于圓心的垂直高度。因為摩天輪每8分鐘轉一圈，所以角速度 2==。設小紅在 Φ_t 分鐘時轉過的角度為 ωt ，那么她在摩天輪上相對于圓心的垂直高度為 （從最低點開始，初始相位為 2。 由此可得， h=40+ 在學生推導過程中，教師觀察學生的思路。有的學生思路清晰，能快速得出結果；有的學生則遇到困難，教師便適時給予提示。推導結束后，教師讓學生互相交流分享，并對學生的表現進行評價：

“雖然直接套用公式結果正確，但能否用旋轉矢量圖解釋相位偏移？”“注意角頻率單位轉換，題目給出的是8分鐘/圈，而標準周期是 2π ，這導致 ” 課后作業顯示正確建立函數模型的比例達 88% ，較往年同類型問題（ 72% ）顯著提升。

“教一學一評”一體化模式在三角函數教學中的應用，展現了教育數字化轉型的深層動力。該模式通過技術賦能實現抽象概念的具象化表征，借助實驗探究完成邏輯推導的具身認知，依托方法融合構建解題思維的多元框架，借助生活聯結達成數學知識的遷移應用。這種教學革新實現了三角函數教學從“知識傳遞”到“素養培育”的轉型，為數學教學改革提供了可參考的實踐案例。

隨著智能教育技術的不斷發展，“教一學—評”一體化模式將持續釋放促進學生深度學習的潛能，為培養具有高階思維能力的數學人才提供有效路徑。高中數學教師應進一步探索該模式在其他數學模塊中的應用，并結合更多智能教育工具，進一步優化教學效果。

注：本文系2024年廣東省基礎教育課程教學改革深化行動專題項目“新課標下高中數學教、學、評一體化改革研究”（序號：45）的階段性研究成果。