向量是高中數學的重要知識，也是高考的必考內容，也是高中數學的解題工具，在高中數學的多個領域都可以使用向量進行解答，如三角函數中的和差角公式推導，立體幾何中的系列問題.本文將探討向量在幾何中的應用，具體將從兩個方面展開，一是利用向量證明幾何問題，二是利用向量求值.下面一一展開討論.

1 利用向量進行幾何證明

這方面的應用主要是借助向量知識，證明幾何中的位置關系，如線線垂直，只要證明線的方向向量數量積等于0，則兩線垂直；再如線線平行，只要證明兩條線的方向向量成倍數關系，說明方向向量共線，則兩直線平行.

例1如圖1所示，若 D 是 ΔABC 內的一點，且 AB²-AC²=BD²-DC² 求證： AD⊥BC ：

證明 設 ， ，則 a=e+c，b=e+d ，所以 a²-b²=（e+c）²-（e+d）²=c²+2ec- 2ed-d² 因為 AB²-AC²=BD²-DC² 所以 a²-b²=c²-d²

則 c²+2ec-2ed-d²=c²-d²

即 e（c-d）=0

因為 ，

所以 ：

所以

即 AD⊥BC ：

評注該題是證明兩條直線垂直，此處借助向量進行證明，過程非常明確：第一步是確定題目中哪些是已知向量，哪些是未知向量；第二步是通過向量的加減運算，把未知向量用已知向量表示出來；第三步是直接將要證明垂直的兩條線段對應向量進行數量積運算，結果等于0，則得到垂直關系.在解決類似的問題時，若能建立直角坐標系，則建立直角坐標系，將向量用坐標表示，會更加直觀簡單

2 利用向量求值

利用向量求值包括兩個方面，一是求線段長度；二是求角度大小，下面具體分別進行探究.

2.1 利用向量求線段長度

例2在 ΔABC 中， a，b，c 分別是內角 A，B，C 的對邊，且 b²+c²=5. 若 為 BC 的中點，求 AD 的長.

解因為 b+c=3，b²+c²=5

所以 （b+c）²=b²+c²+2bc=9 ，

則 5+2bc=9 .

所以 bc=2

因為 D 為 BC 的中點，

所以AD= ，

則 ，

即 （20

則 故 AD 的長為1.

評注該題是在解三角形的問題情境中，在ΔABC 中， D 為 BC 的中點前提下，要求 AD 的長.不選擇利用正余弦定理去解答，而是選擇利用向量知識，相比而言，要簡單得多.其主要是根據向量的加減運算，有 ，且向量 和AC的模的數量關系已知，則通過對 兩邊平方即可順利求出向量 的模，即線段 AD 長度.

2.2 利用向量求角度

例3如圖2，正方形 ABCD 的邊長為 1，P，Q 分別為邊 BC，CD 上的點，且 1 .求∠PAQ 的大小.

解設 ∠DAQ=α ∠BAP=β ，

則

由已知

所以 ： ·DQ+AD . 且 ： ，

則 ：

因為正方形ABCD的邊長為1，

所以 DQ=tanα BP=tanβ

在 RtΔCQP 中， CQ=1-tanα ，

CP=1-tanβ ，

由 ，

則（1-ta nα）²+（1-tanβ）²=（tanα+tanβ）² 所以 1-tanαtanβ=tanα+tanβ ，

則

因為 所以 中

評注該題是利用向量求角的題型，從題目已知，正方形的邊所對應向量屬于已知向量，其次 · ，求 ∠PAQ ，則是求向量 與AQ的夾角，根據向量數量積的定義，則需要已知向量 與 的模和數量積，數量積是通過向量加減運算將未知向量用已知向量表示， 最終根據 即可求出 ∠PAQ 業

3結語

向量在幾何中的應用非常廣泛，可以利用它來證明兩條線段的位置關系，如平行和垂直，也可以用來計算線段長度，計算角度大小等問題.本文針對向量在幾何中的應用從兩個方面進行探討，一是證明角度，通過例題討論了向量證明兩條線段垂直的問題；二是計算，涉及計算線段長度和角度大小兩個方面的內容.根據向量知識的特征，一般在利用向量解決幾何問題時，首先考慮能不能建立直角坐標系，能的話就建系，將向量用坐標進行表示，這樣處理問題比較簡單，若不能建立直角坐標系，則采用線性運算的方式進行，一般原則是利用向量加減運算的三角形法則或者平行四邊形法則，將要用到的未知向量用已知向量表示，然后代人進行相應的計算.

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