關于特殊角問題的教學探究指導

1 問題綜述

特殊角問題在初中幾何中十分常見，特殊角不局限于常見的 30^°，60^°，90^° ，對應的三角函數(shù)值特殊的均可稱為特殊角.當特殊角與平面直角坐標系相結(jié)合時，問題便具有了代數(shù)與幾何的雙重特性，問題解析需要構建特殊角、三角函數(shù)值、直線斜率之間的關聯(lián).

2 方法總結(jié)

對于純幾何的特殊角問題，可以利用三角函數(shù)來直接求值，即先構造直角三角形，將其轉(zhuǎn)化為線段比值.

如一般半角三角函數(shù)值，可按照圖1來構造，即 α atana ，tan2 b+√a2+b2

而一般的二倍角函數(shù)值，則可以按照圖2來構造直角三角形，再借助勾股定理求解.

對于與平面直角坐標系相結(jié)合的特殊角問題，把握“ y=kx+b 的 k^′′ 與“直線和 x 軸的夾角”之間的關系— ∣k∣=tanα（α） 是直線與 x 軸的夾角），再構建模型求解.如圖3 所示，其中 ，則

基于上述分析，總體而言平面直角坐標系中特殊角的處理思路有兩種：一是構造三垂直相似或全等模型，后續(xù)利用三角函數(shù)值求解；二是通過三角函數(shù)值將“角度條件”轉(zhuǎn)化為與“直線”或平面直角坐標系相關的條件.

3方法講解

結(jié)合實例講解特殊角問題的轉(zhuǎn)化思路和方法，按照“思路分析一模型構建一過程推理”引導學生充分利用方法進行解題構建.

例1如圖4所示，在平面直角坐標系中，直線AB解析式為 ，點 M（2，1） 是直線 AB 上一點，將直線AB繞點 M 順時針旋轉(zhuǎn) α 得到直線 CD . 2，求直線CD的解析式.

思路分析 本題目可視為平面直角坐標系中特殊角問題，需要轉(zhuǎn)化核心條件 ，從三角函數(shù)值本身入手不易求解， 不屬于常規(guī)的特殊角范圍，所以可構建模型，再將其轉(zhuǎn)化為線段比值.

解析構建 在直線 CD 上選取點 P ，構造三垂直相似模型，如圖5所示，易證 ΔPFO～ΔOEM .且相似比 ，即 ，因此點 P 的坐標為 結(jié)合點 P 和 M 的坐標可求得直線 CD 的解析式為 （20

解后反思上述解析特殊角問題時，將三角函數(shù)值這一條件轉(zhuǎn)化為線段比值條件，后續(xù)再推導點坐標，求出直線解析式.整個過程分為三步：第一步，構建特殊角模型；第二步，轉(zhuǎn)化核心條件；第三步，計算求解.

4綜合探究

與特殊角相關的綜合問題較為常見，建議教師在教學中進一步結(jié)合實例指導學生解析探究，關注問題特點，分析思路方法，再開展過程構建.

例2在平面直角坐標系中，點 O 為坐標原點，拋物線 y=ax²+bx-3 交 x 軸負半軸于點 A ，交 x 軸正半軸于點 B ，交 軸于點 （1）如圖6，求拋物線的解析式；

（2）如圖7，點 D 在拋物線上，且點 D 在第二象限，連接 BD 交 軸于點 E ，若 ，求點D 的坐標.

思路分析 本題目為與拋物線相關的綜合題，其中第二問設定 ，屬于特殊角問題，涉及三角函數(shù)，建議借助直角三角形來轉(zhuǎn)化條件，轉(zhuǎn)化為與線段比相關的條件，后續(xù)再求點 D 坐標.

解析構建（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標可求點 C（0，-3） ，則 OC=3 ，結(jié)合 OB=OC= ，可得 OB=3，OA=2 ，則點 A（-2，0），B（3，-3） 0），用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式為 y=

（2）過點 D 作 x 軸的垂線，點 M 為垂足，如圖8所示.設點 D 的橫坐標為 Ψ_t ，則點 D 的縱坐標為 因點 D 在第二象限，則 ，在 RtΔDMB 中， tan∠DBA= 因為 ，則 2DM=MB ，則有 ，可解得 t₁=3 （舍去），t₂=-3 ，所以點 D 的縱坐標為 （-3）-3=3 ，點 D 的坐標就為 （-3，3）

解后反思上述第二問為特殊角問題，求解時將條件轉(zhuǎn)化為線段關系，后續(xù)根據(jù)該條件來構建方程，求出點的坐標.對于涉及三角函數(shù)值的特殊角問題，可借助直角三角形模型來轉(zhuǎn)化構建，利用三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為線段比值.

5結(jié)語

教師在進行特殊角問題的教學探究中，可參考上述過程，引導學生明晰何為特殊角，再梳理轉(zhuǎn)化方法和破解思路，結(jié)合不同類型問題來指導應用.過程引導中，教師要引導學生關注問題特點，整合信息條件，合理反思，深度總結(jié)歸納.